tìm số nguyên x, y, z biết x^3 + y^3 + z^3 = x + y + z + 2020 30/08/2021 Bởi Amara tìm số nguyên x, y, z biết x^3 + y^3 + z^3 = x + y + z + 2020
Đáp án: Giải thích các bước giải: $ x^3+y^3+z^3= y+x+z+2020$$⇒ x^3+y^3+z^3-x-y-z=2020$$⇒(x^3-x)+(y^3-y)+(z^3-z)=2020$$⇒x(x^2-1)+y(y^2-1)+z(z^2-1) = 2020$$⇒ (x-1)x(x+1)+(y-1)y(y+1)+(z-1)z(z+1) = 2020$ Đặt $A= (x-1)x(x+1)+(y-1)y(y+1)+(z-1)z(z+1) $ Ta thấy mỗi số hạng của A đều là tích 3 số nguyên liên tiếp $⇒ (x-1)x(x+1) \vdots 2; 3 ∀x$ $(y-1)y(y+1) \vdots 2; 3 ∀y$ $(z-1)z(z+1) \vdots 2; 3 ∀z$ Mà $(2, 3) = 1$ $⇒ (x-1)x(x+1) \vdots 6 ∀x$ $(y-1)y(y+1) \vdots 6 ∀y$ $(z-1)z(z+1) \vdots 6 ∀z$ $⇒ (x-1)x(x+1)+(y-1)y(y+1)+(z-1)z(z+1) \vdots 6 ∀x, y, z$ Mà $2020 $ không chia hết cho $6$ Nên không có x, y, z nguyên thỏa mãn đề bài Bình luận
Đáp án: Không có giác trị nguyên của $x,y,z$ thỏa mãn đề bài Giải thích các bước giải: $x^3+y^3+z^3=x+y+z+2020$ $\Rightarrow x^3-x+y^3-y+z^3-z=2020$ $\Rightarrow x(x^2-1)+y(y^2-1)+z(z^2-1)=2020$ $\Rightarrow (x-1)x(x+1)+(y-1)y(y+1)+(z-1)z(z+1)=2020$ Ta có $VT$ là tổng của 3 số hạng Trong đó mỗi số hạng là tích của 3 số liên tiếp, mà tích của 3 số liên tiếp luôn chia hết cho 6 nên $(x-1)x(x+1)$ $\vdots$ $6$ $\Rightarrow VT$ $\vdots$ $6$ Mà $VP=2020$ không chia hết cho 6 Nên không có giác trị nguyên của $x,y,z$ thỏa mãn đề bài. Bình luận
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$ x^3+y^3+z^3= y+x+z+2020$
$⇒ x^3+y^3+z^3-x-y-z=2020$
$⇒(x^3-x)+(y^3-y)+(z^3-z)=2020$
$⇒x(x^2-1)+y(y^2-1)+z(z^2-1) = 2020$
$⇒ (x-1)x(x+1)+(y-1)y(y+1)+(z-1)z(z+1) = 2020$
Đặt $A= (x-1)x(x+1)+(y-1)y(y+1)+(z-1)z(z+1) $
Ta thấy mỗi số hạng của A đều là tích 3 số nguyên liên tiếp
$⇒ (x-1)x(x+1) \vdots 2; 3 ∀x$
$(y-1)y(y+1) \vdots 2; 3 ∀y$
$(z-1)z(z+1) \vdots 2; 3 ∀z$
Mà $(2, 3) = 1$
$⇒ (x-1)x(x+1) \vdots 6 ∀x$
$(y-1)y(y+1) \vdots 6 ∀y$
$(z-1)z(z+1) \vdots 6 ∀z$
$⇒ (x-1)x(x+1)+(y-1)y(y+1)+(z-1)z(z+1) \vdots 6 ∀x, y, z$
Mà $2020 $ không chia hết cho $6$
Nên không có x, y, z nguyên thỏa mãn đề bài
Đáp án: Không có giác trị nguyên của $x,y,z$ thỏa mãn đề bài
Giải thích các bước giải:
$x^3+y^3+z^3=x+y+z+2020$
$\Rightarrow x^3-x+y^3-y+z^3-z=2020$
$\Rightarrow x(x^2-1)+y(y^2-1)+z(z^2-1)=2020$
$\Rightarrow (x-1)x(x+1)+(y-1)y(y+1)+(z-1)z(z+1)=2020$
Ta có $VT$ là tổng của 3 số hạng
Trong đó mỗi số hạng là tích của 3 số liên tiếp, mà tích của 3 số liên tiếp luôn chia hết cho 6
nên $(x-1)x(x+1)$ $\vdots$ $6$
$\Rightarrow VT$ $\vdots$ $6$
Mà $VP=2020$ không chia hết cho 6
Nên không có giác trị nguyên của $x,y,z$ thỏa mãn đề bài.