Tìm số tự nhiên n để $2^{n}$+1 và $2^{n}$-1 đều là các số nguyên tố.

0 bình luận về “Tìm số tự nhiên n để $2^{n}$+1 và $2^{n}$-1 đều là các số nguyên tố.”

1. Đáp án: $n=2$

   Giải thích các bước giải:

   Ta có $2^n-1$ là số nguyên tố mà $2^n-1$ lẻ

   $\to 2^n-1\ge 3$

   $\to 2^n\ge 4$

   $\to n\ge 2$

   Nếu $n=2\to 2^n+1=5, 2^n-1=3$ là số nguyên tố

   $\to n=2$(chọn)

   Nếu $n>2\to 2^n-1>3, 2^n+1>3$

   Ta có $2\equiv -1(mod 3)$

   $\to 2^n\equiv (-1)^n(mod 3)$

   Nếu $n$ chẵn

   $\to 2^n\equiv 1(mod 3)$

   $\to 2^n-1\equiv 0(mod 3)$

   $\to 2^n-1\quad\vdots\quad 3$

   Do $2^n-1>3\to 2^n-1$ là hợp số

   $\to n$ chẵn loại

   Nếu $n$ lẻ

   $\to 2^n\equiv -1(mod 3)$

   $\to 2^n+1\equiv 0(mod 3)$

   $\to 2^n+1\quad\vdots\quad 3$

   Mà $2^n+1>3$

   $\to 2^n+1$ là hợp số

   $\to n$ lẻ loại

   $\to n>2$ loại

   Bình luận