tìm số tự nhiên n để các số 9n + 24 và 3n+4 là các số nguyên tố cùng nhau

Đáp án:

Giả sử \(9n+24\) và \(3n+4\) là \(2\) số chưa nguyên tố cùng nhau \(\left(n\in N\right)\)

\(\Rightarrow9n+24\) và \(3n+4\) có ước chung là số nguyên tố

Gọi số nguyên tố \(d\) là ước chung của \(9n+24\) và \(3n+4\) \(\left(d\in N\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}9n+24⋮d\\3n+4⋮d\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}9n+24⋮d\\9n+12⋮d\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow12⋮d\)

Vì \(d\) là số nguyên tố, \(12⋮d\Rightarrow d\in\left\{2;3\right\}\)

+) \(d=3\Rightarrow3n+4⋮3\Rightarrow4⋮3\) (vô lí)

+)\(d=2\Rightarrow9n+24⋮2\)

\(\Rightarrow n+8n+24⋮2\)

\(\Rightarrow n⋮2\)

\(\Rightarrow n=2k\left(k\in N\right)\)

Khi \(n=2k\left(k\in N\right)\) thì \(3n+4=2\left(2k\right)+4=6k+4⋮2\)

Vậy \(n=2k\left(k\in N\right)\) thì \(9n+24\) và \(3n+4\) chưa nguyên tố cùng nhau

Giải thích các bước giải: