Tìm số tự nhiên n để n+15/n+3 là số tự nhiên Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì (3n+1,4n+1)=1

0 bình luận về “Tìm số tự nhiên n để n+15/n+3 là số tự nhiên Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì (3n+1,4n+1)=1”

1. Để $\dfrac{n+15}{n+3}$ là số tự nhiên thì : $n+15 \vdots n+3$

   $⇔ n+3 + 12 \vdots n+3$

   $⇔ 12 \vdots n+3$

   $⇔ n+3$ $∈$ `Ư(12)={±1;±2;±3;±4;±6;±12}`

   Mà $n$ $∈$ $N$ $⇒$ $n+3$ $∈$ `{3;4;6;12}`

   $⇒$ $n$ $∈$ `{9;3;1;0}`

     Vậy $n$ $∈$ `{9;3;1;0}`

   Đặt `d=ƯCLNNNN(3n+1;4n+1)`

   `⇒` $\left\{\begin{matrix}3n+1 \vdots d& \\ 4n+1 \vdots d& \\\end{matrix}\right.$    

   $⇒$ `4.(3n+1) – 3.(4n+1) \vdots d`

   `⇒` `12n + 4 – 12n – 3 \vdots d`

   `⇒ 1 \vdots d`

   `⇒` `d` `∈` `Ư(1)={±1}`

   Mà $d=1$ vì $d$ lớn nhất

    Vậy `(3n+1;4n+1)=1` `∀` $x$ $∈$ $N$($đpcm$)

    

   Bình luận

2. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

    $\dfrac{n+15}{n+3}∈N$

   $ $

   $⇒n+15$ $\vdots$ $n+3$

   $⇒(n+3)+12$ $\vdots$ $n+3$

   $⇒12$ $\vdots$ $n+3$

   $⇒n+3∈${$12;6;4;3;2;1$}

   $⇒n∈${$9;3;1;0;-1;-2$}

   Mà $n∈N$

   $⇒n∈${$9;3;1;0$}

   $ $

   $ $

   $ $

   Gọi $UCLN(3n+1;4n+1)=d$

   $⇒3n+1$ $\vdots$ $d$ ; $4n+1$ $\vdots$ $d$

   $⇒12n+4$ $\vdots$ $d$ ; $12n+3$ $\vdots$ $d$

   $⇒(12n+4)-(12n+3)$ $\vdots$ $d$

   $⇒1$ $\vdots$ $d$

   $⇒d=1$

   $⇒UCLN(3n+1;4n+1)=1$   (đpcm)

   Bình luận