Tìm số tự nhiên n để P = n^7 +n^5 +1 là số nguyên tố
0 bình luận về “Tìm số tự nhiên n để P = n^7 +n^5 +1 là số nguyên tố”
Ta cần tìm n sao cho n5+n4+1n5+n4+1=pkpk(pplà số nguyên tố)
Ta có:n5+n4+1=n5+n4+n3−n3+n2−n2+n−n+1=n3(n2+n+1)−n(n2+n+1)+n2+n+1=(n3−n+1)(n2+n+1)n5+n4+1=n5+n4+n3−n3+n2−n2+n−n+1=n3(n2+n+1)−n(n2+n+1)+n2+n+1=(n3−n+1)(n2+n+1)
Xét trường hợp n>2n>2:
Dễ thấy n3−n+1>n2+n+1n3−n+1>n2+n+1
Mặt khác n3−n+1=(n−1)(n2+n+1)−(n−2)n3−n+1=(n−1)(n2+n+1)−(n−2)không chia hết cho n2+n+1n2+n+1(vì n−2n−2< n2+n+1n2+n+1)
Vậy n2+n+1=1n2+n+1=1⇔n=0⇔n=0( loại vì n>2n>2)
Xét trường hợp n≤2n≤2, thử trực tiếp: Với n=1,n=2n=1,n=2 đều thỏa mãn
Ta cần tìm n sao cho n5+n4+1n5+n4+1=pkpk (pp là số nguyên tố)
Ta có:n5+n4+1=n5+n4+n3−n3+n2−n2+n−n+1=n3(n2+n+1)−n(n2+n+1)+n2+n+1=(n3−n+1)(n2+n+1)n5+n4+1=n5+n4+n3−n3+n2−n2+n−n+1=n3(n2+n+1)−n(n2+n+1)+n2+n+1=(n3−n+1)(n2+n+1)
Xét trường hợp n>2n>2:
Dễ thấy n3−n+1>n2+n+1n3−n+1>n2+n+1
Mặt khác n3−n+1=(n−1)(n2+n+1)−(n−2)n3−n+1=(n−1)(n2+n+1)−(n−2) không chia hết cho n2+n+1n2+n+1 (vì n−2n−2< n2+n+1n2+n+1)
Vậy n2+n+1=1n2+n+1=1 ⇔n=0⇔n=0( loại vì n>2n>2)
Xét trường hợp n≤2n≤2, thử trực tiếp: Với n=1,n=2n=1,n=2 đều thỏa mãn
Vậy n=1,2n=1,2 là các số tự nhiên thỏa mãn.