tìm số tự nhiên n sao cho n^2+83n+2009 là một số chính phương

0 bình luận về “tìm số tự nhiên n sao cho n^2+83n+2009 là một số chính phương”

1. Đặt m²=n²+83n+2009 (m∈N) 

   ⇔ 4m²=4n²+332n+8036

   ⇔ 4m²=((2n)²+2.2n.83+6889)+1147

   ⇔ 4m²=(2n+83)²+1147

   ⇔ 4m²-(2n+83)²=1147

   ⇔ (2m-2n-83)(2m+2n+83)=1147

   Do m,n∈N ⇒ 2m+2n+83>0; 2m+2n+83∈N

   Mà (2m-2n-83)(2m+2n+83)=1147 ⇒ 2m-2n-87>0 

   Mà m,n∈N ⇒ 2m-2n-87∈N

   Ta có: (2m+2n+83)-(2m-2n-83)=4n+166≥166>0

   Mà 1147=1.1147=31.37

   ⇒ Chỉ xảy ra duy nhất 1 trường hợp: 2m+2n+83=1147 (1) và 2m-2n-83=1 

   Lấy (1) trừ (2), vế theo vế, ta được:

   (2m+2n+83)-(2m-2n-83)=1147-1 

   ⇔ 4n+166=1146 ⇔ n=245 (thoả mãn)

   Thay n vào (1) ta được: 

   2m+2.245+83=1147 ⇔ 2m+573=1147 ⇔ m=287 (thoả mãn)

   Thử lại: 245²+83.245+2009=82369=287² (thoả mãn)

   Vậy n=245

    

   Bình luận

2. Do n²+83n+2009 là SCP

   nên đặt n²+83n+2009=a² (a ∈ N*)

   ⇒ 4(n²+83n+2009)=4a²

   ⇔ 4n² + 2.2n.83 + 4.2009 = 4a²

   ⇔ 4n² + 2.2n.83 +83² + 4.2009 – 83² = 4a²

   ⇔ (2n+83)² +1147 = 4a²

   ⇔ 4a² – (2n+83)² =1147

   ⇔ (2a – 2n – 83)(2a + 2n + 83) = 1147

   ⇒ 2a + 2n + 83 ∈ Ư(1147)={±1;±31;±37;±1147}

   Mà 2a + 2n + 83 ∈  N* và 2a + 2n + 83 >83

   ⇒ 2a + 2n + 83 =1147 ⇔ 2a+2n=1064 (1)

   và 2a – 2n – 83 = 1 ⇔ 2a-2n=84 (2)

   Trừ cả 2 vế của (1) cho (2) ta được: 2a+2n – 2a + 2n = 1064 – 84

                                                     ⇔ 4n = 980

                                                     ⇔ n=245

   Vậy n = 245 thì n^2+83n+2009 là một số chính phương

                                      

   Bình luận