tìm stn có 3 chữ số biết rằng khi nhân nó với 175 ta được 1 số chính phương

Gọi số cần tìm là: $a$

Khi nhân $a$ với $175$ được $x^{2}$

Ta có: $a.175=x^{2}$

$⇔a.5^{2}.7=x^{2}$

Để tích $a.175$ là số chính phương thì tích $a.7$ cũng là số chính phương

$⇒a$ có dạng $7^{2k+1}.b^{2h}$

Với $k=0$ thì $a=7.b^{2h}$

Vì $100≤a≤999$

$⇔100≤7.b^{2h}≤999$

$⇔4≤b^{h}≤11$

+, Nếu $b=1⇒h∈∅$ 

+, Nếu $b=2⇒h∈\{2;3\}⇒a∈\{112;448\}$

+, Nếu $b=3⇒h=2⇒a=567$

+, Nếu $b∈\{4;5;6;7;8;9;10;11\}⇒h=1⇒a∈\{112;175;252;343;448;567;700;847\}$

Với $k=1⇒a=7^{3}.b^{2h}=343.b^{2h}$

Vì $100≤a≤999$

$⇒100≤343.b^{2h}≤999$

$⇒1≤b^{2h}≤1$

$⇒b^{2h}=1$

Vậy $a∈\{112;175;252;343;448;567;700;847\}$