Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x,y) thỏa mãn: 4x^4+12x^2y+5y^2=4x^2+8xy+5(x+y)-1 29/08/2021 Bởi Athena Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x,y) thỏa mãn: 4x^4+12x^2y+5y^2=4x^2+8xy+5(x+y)-1
Đáp án: Giải thích các bước giải: Với $ x; y$ nguyên dương $ x ≥ 1; y ≥ 1$ thì: $ 4x²(x² – 1) ≥ 0 ⇔ 4x^{4} – 4x² ≥ 0 ⇔ 4x^{4} ≥ 4x² (1)$ $ 8xy(x – 1) ≥ 0 ⇔ 8x²y – 8xy ≥ 0 ⇔ 8x²y ≥ 8xy (2)$ $ (x – 1)(4x – 1) ≥ 0 ⇔ 4x² – 5x + 1 ≥ 0 ⇔ 4x²y ≥ 5x – 1 (3)$ $ 5y(y – 1) ≥ 0 ⇔ 5y² – 5y ≥ 0 ⇔ 5y² ≥ 5y (4)$ $(1) + (2) + (3) + (4) $ vế với vế: $4x^{4} + 12x²y + 5y² ≥ 4x² + 8xy + 5(x + y) – 1$ Dấu “=” khi $ x = 1; y = 1$ Vậy $PT$ có nghiệm nguyên dương duy nhất $(x; y) = (1; 1)$ Bình luận
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Với $ x; y$ nguyên dương $ x ≥ 1; y ≥ 1$ thì:
$ 4x²(x² – 1) ≥ 0 ⇔ 4x^{4} – 4x² ≥ 0 ⇔ 4x^{4} ≥ 4x² (1)$
$ 8xy(x – 1) ≥ 0 ⇔ 8x²y – 8xy ≥ 0 ⇔ 8x²y ≥ 8xy (2)$
$ (x – 1)(4x – 1) ≥ 0 ⇔ 4x² – 5x + 1 ≥ 0 ⇔ 4x²y ≥ 5x – 1 (3)$
$ 5y(y – 1) ≥ 0 ⇔ 5y² – 5y ≥ 0 ⇔ 5y² ≥ 5y (4)$
$(1) + (2) + (3) + (4) $ vế với vế:
$4x^{4} + 12x²y + 5y² ≥ 4x² + 8xy + 5(x + y) – 1$
Dấu “=” khi $ x = 1; y = 1$
Vậy $PT$ có nghiệm nguyên dương duy nhất $(x; y) = (1; 1)$