Tìm tất cả các đa thức thỏa mãn: `x* P_((x-1))=(x-26)P(x)`

Đáp án:

`P(x)=ax(x-1)(x-2)(x-3)…(x-25)` với $a$ là hằng số

Giải thích các bước giải:

`\qquad x.P(x-1)=(x-26).P(x)`

Với `x=0` ta có: `0.P(0-1)=-26.P(0)`

`=>0=-26P(0)=>P(0)=0` 

Với `x=1` ta có: `1.P(1-1)=(1-26).P(1)`

`=>P(0)=-15P(1)`

`=>0=-15P(1)=>P(1)=0`

Với `x=2` ta có: `2.P(2-1)=(2-26).P(2)`

`=>2.P(1)=-24.P(2)`

`=>2.0=-24.P(2)=>P(2)=0`

Với `x=3` ta có: `3.P(3-1)=(3-26).P(3)`

`=>3.P(2)=-23.P(3)`

`=>3.0=-23.P(3)=>P(3)=0`

…..

Với `x=26` ta có: `26.P(25)=(26-26).P(26)`

`=>26P(25)=0=>P(25)=0`

`=>x\in {0;1;2;…;25}` là các nghiệm của `P(x)`

`=>P(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)…(x-25).Q(x)`

`\qquad ` (với `Q(x)` là đa thức)

$\\$

Ta có: `P(x-1)=(x-1)(x-1-1)(x-2-1)…(x-25-1)Q(x-1)`

`=>xP(x-1)=x(x-1)(x-2)(x-3)…(x-26)Q(x-1)`

Vì `xP(x-1)=(x-26)P(x)` với mọi `x`

`=>x(x-1)(x-2)(x-3)…(x-26)Q(x-1)`

`=(x-26).x(x-1)(x-2)(x-3)….(x-25)Q(x)` với mọi `x`

`=>Q(x-1)=Q(x)` với mọi `x`

`=>Q(x)` là hằng số

`=>Q(x)=a` (với $a$ là hằng số)

Vậy `P(x)=ax(x-1)(x-2)(x-3)…(x-25)` với $a$ là hằng số