Tìm tất cả các giá trị của tham số \[ m \] để mọi \[ x\in \left[ -1;1 \right] \] đều là nghiệm của bất phương trình \[ 3{ x ^ 2 }-2\left( m+5 \right)x-{ m ^ 2 }+2m+8\le 0 \].
Tìm tất cả các giá trị của tham số \[ m \] để mọi \[ x\in \left[ -1;1 \right] \] đều là nghiệm của bất phương trình \[ 3{ x ^ 2 }-2\left( m+5 \right)x-{ m ^ 2 }+2m+8\le 0 \].
Ta có $ 3{ x ^ 2 }-2\left( m+5 \right)x-{ m ^ 2 }+2m+8=0\Leftrightarrow x=m+2 $ hoặc $ x=\dfrac{4-m} 3 $
* Với $ m+2 > \dfrac{4-m} 3 \Leftrightarrow 3m+6 > 4-m\Leftrightarrow m > -\dfrac{1}{2} $ ta có
Bất phương trình (1) $ \Leftrightarrow \dfrac{4-m} 3 \le x\le m+2 $
Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là $ \left[ \dfrac{4-m} 3 ;m+2 \right] $
Suy ra mọi $ x\in \left[ -1;1 \right] $ đều là nghiệm của bất phương trình (1)
khi và chỉ khi $ \left[ -1;1 \right]\subset \left[ \dfrac{4-m} 3 ;m+2 \right]\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} -1\ge \dfrac{4-m} 3 \\ 1\le m+2 \\ \end{matrix} \right. $
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m\ge 7 \\ m\ge -1 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow m\ge 7 $
Kết hợp với điều kiện $ m > -\dfrac{1}{2} $ ta có $ m\ge 7 $ thỏa mãn yêu cầu bài toán
* Với $ m+2 < \dfrac{4-m} 3 \Leftrightarrow m < -\dfrac{1}{2} $ ta có
Bất phương trình (1) $ \Leftrightarrow m+2\le x\le \dfrac{4-m} 3 $.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là $ \left[ m+2;\dfrac{4-m} 3 \right] $.
Suy ra mọi $ x\in \left[ -1;1 \right] $ đều là nghiệm của bất phương trình (1)
khi và chỉ khi $ \left[ -1;1 \right]\subset \left[ m+2;\dfrac{4-m} 3 \right]\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} -1\ge m+2 \\ 1\le \dfrac{4-m} 3 \\ \end{matrix} \right. $
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m\le -3 \\ m\le 1 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow m\le -3 $.
Kết hợp với điều kiện $ m < -\dfrac{1}{2} $ ta có $ m\le -3 $ thỏa mãn yêu cầu bài toán
* Với $ m=-\dfrac{1}{2} $ ta có bất phương trình (1) $ \Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2} $ nên $ m=-\dfrac{1}{2} $ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy $m \in \left( { – \infty ; – 3} \right] \cup \left[ {7; + \infty } \right)$ là giá trị cần tìm.