Tìm tất cả các giá trị m để phương trình: $m\sqrt{2-x}=\dfrac{x^2-2mx+2}{\sqrt{2-x}}$ có nghiệm dương. 09/08/2021 Bởi Alaia Tìm tất cả các giá trị m để phương trình: $m\sqrt{2-x}=\dfrac{x^2-2mx+2}{\sqrt{2-x}}$ có nghiệm dương.
Đáp án: Để phương trình có nghiệm dương thì $-4+2\sqrt6<m<1$. Giải thích các bước giải: $m\sqrt{2-x}=\dfrac{x^2-2mx+2}{\sqrt{2-x}}$ Đk: $2-x>0\Leftrightarrow x<2$ $\Leftrightarrow m|2-x|=x^2-2mx+2$ (do $2-x>0\Rightarrow |2-x|=2-x$) Pt $\Leftrightarrow 2m-mx=x^2-2mx+2$ $\Leftrightarrow x^2-mx-2m+2=0$ $\Delta=m^2-4(2-2m)=m^2+8m-8\ge0$ $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} m\ge-4+2\sqrt6\\ m\le-4-2\sqrt6\end{array} \right.$ (1) Theo Vi-et ta có: $\left\{\begin{array}{l} x_1+x_2=m\\ x_1x_2=2-2m\end{array} \right.$ Th1: phương trình có 1 nghiệm dương thì $x_1+x_2\ge0\Rightarrow m\ge0$ (2) Th2: phương trình có 2 nghiệm dương thì: $ \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2>0\\ x_1.x_2>0\end{array} \right.\Rightarrow 0<m<1$ (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra để phương trình có nghiệm dương thì $-4+2\sqrt6\le m<1$. Bình luận
Đáp án:
Để phương trình có nghiệm dương thì $-4+2\sqrt6<m<1$.
Giải thích các bước giải:
$m\sqrt{2-x}=\dfrac{x^2-2mx+2}{\sqrt{2-x}}$
Đk: $2-x>0\Leftrightarrow x<2$
$\Leftrightarrow m|2-x|=x^2-2mx+2$ (do $2-x>0\Rightarrow |2-x|=2-x$)
Pt $\Leftrightarrow 2m-mx=x^2-2mx+2$
$\Leftrightarrow x^2-mx-2m+2=0$
$\Delta=m^2-4(2-2m)=m^2+8m-8\ge0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} m\ge-4+2\sqrt6\\ m\le-4-2\sqrt6\end{array} \right.$ (1)
Theo Vi-et ta có: $\left\{\begin{array}{l} x_1+x_2=m\\ x_1x_2=2-2m\end{array} \right.$
Th1: phương trình có 1 nghiệm dương thì $x_1+x_2\ge0\Rightarrow m\ge0$ (2)
Th2: phương trình có 2 nghiệm dương thì:
$ \left\{\begin{array}{l} x_1+x_2>0\\ x_1.x_2>0\end{array} \right.\Rightarrow 0<m<1$ (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra để phương trình có nghiệm dương thì $-4+2\sqrt6\le m<1$.