Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $ m $ để phương trình $ \left( { x ^ 2 }+\dfrac{1}{{}{ x ^ 2 }} \right)-2m\left( x+\dfrac{1}{x} \right)+1=0 $ có nghiệm.
Cho bất phương trình: $ {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-1\le m{{(\sqrt{x}-\sqrt{x-1})}^{3}} $ . Với giá trị nào của $ m $ sau đây để bất phương trình có nghiệm thực.
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Câu 1: Đặt $ x+\dfrac{1}{x} =t\to \left\{ \begin{align} & \left| t \right|\ge 2 \\ & { x ^ 2 }+\dfrac{1}{{}{ x ^ 2 }}={ t ^ 2 }-2 \\ \end{align} \right.. $
Khi đó phương trình đã cho trở thành $ f\left( t \right)={ t ^ 2 }-2mt-1=0\,\, \left( * \right) $ (Phương trình này luôn có hai nghiệm phân biệt $ { t _ 1 } < 0 < { t _ 2 } $ do $ ac < 0 $ ). Do đó PT đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (*) có ít nhất một nghiệm $ t $ thỏa $ \left| t \right|\ge 2 $ , hay ít nhất một trong hai số $ 2;\,\,-2 $ phải nằm giữa hai nghiệm $ { t _ 1 },\,\,{ t _ 2 }; $ hay $\left[ \begin{array}{l}
f\left( 2 \right) \le 0\\
f\left( { – 2} \right) \le 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3 – 4m \le 0\\
3 + 4m \le 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m \ge \frac{3}{4}\\
m \le – \frac{3}{4}
\end{array} \right..$
Câu 2: Điều kiện: $ x\ge 1 $
Hàm số liên tục trên $ \text{ }\!\![\!\!\text{ }1;+\infty ) $
Ta có: $ \sqrt{x}-\sqrt{x-1} > 0,\forall x\ge 1 $
$ \Rightarrow Bpt\Leftrightarrow ({{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-1)(\sqrt{x}+\sqrt{x-1})\le m $
Xét hàm số: $ f(x)=({{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-1)(\sqrt{x}+\sqrt{x-1}) $ trên $ \text{ }\!\![\!\!\text{ }1;+\infty ) $
Ta có: $ f'(x)=(3{{x}^{2}}+6x)(\sqrt{x}+\sqrt{x-1})+({{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-1)\left( \dfrac{1}{2\sqrt{x}}+\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}} \right) > 0,\forall x > 1 $
Suy ra, hàm số đồng biến trên $ \text{ }\!\![\!\!\text{ }1;+\infty ) $
Suy ra, bất phương trình có nghiệm $ \Leftrightarrow m\ge \underset{x\in [1;+\infty )}{\mathop{\min f(x)}}\,=f(1)=3 $
Kết luận: $ m\ge 3 $