Tìm tất cả các nghiệm nguyên của pt: $x^{2}$y+1=$x^{2}$+2xy+2x+y 03/10/2021 Bởi Abigail Tìm tất cả các nghiệm nguyên của pt: $x^{2}$y+1=$x^{2}$+2xy+2x+y
Đáp án: $(x,y)\in\{(3,7), (-1, -1), (0, 1) , (2, -7), (1, -1)\}$ Giải thích các bước giải: Ta có: $x^2y+1=x^2+2xy+2x+y$ $\to x^2y-2xy-y=x^2+2x-1$ $\to y(x^2-2x-1)=x^2+2x-1$ Vì $x,y\in Z$ $\to x^2+2x-1\quad\vdots\quad x^2-2x-1$ $\to x^2-2x-1+4x\quad\vdots\quad x^2-2x-1$ $\to 4x\quad\vdots\quad x^2-2x-1$ $\to 4x(x-2)\quad\vdots\quad x^2-2x-1$ $\to 4x^2-8x\quad\vdots\quad x^2-2x-1$ $\to 4x^2-8x-4+4\quad\vdots\quad x^2-2x-1$ $\to 4(x^2-2x-1)+4\quad\vdots\quad x^2-2x-1$ $\to 4\quad\vdots\quad x^2-2x-1$ $\to x^2-2x-1\in U(4)$ vì $x\in Z$ $\to x^2-2x-1\in\{1, 2, 4, -1, -2 , -4\}$ $\to x^2-2x+1\in\{3, 4, 6, 1, 0 , -2\}$ $\to (x-1)^2\in\{3, 4, 6, 1, 0 , -2\}$ Mà $(x-1)^2$ là số chính phương $\to (x-1)^2\in\{4, 1, 0\}$ $\to x\in\{3, -1, 0, 2, 1\}$ $\to y\in\{7, -1, 1, -7, -1\}$ $\to (x,y)\in\{(3,7), (-1, -1), (0, 1) , (2, -7), (1, -1)\}$ Bình luận
Đáp án: $(x,y)\in\{(3,7), (-1, -1), (0, 1) , (2, -7), (1, -1)\}$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$x^2y+1=x^2+2xy+2x+y$
$\to x^2y-2xy-y=x^2+2x-1$
$\to y(x^2-2x-1)=x^2+2x-1$
Vì $x,y\in Z$
$\to x^2+2x-1\quad\vdots\quad x^2-2x-1$
$\to x^2-2x-1+4x\quad\vdots\quad x^2-2x-1$
$\to 4x\quad\vdots\quad x^2-2x-1$
$\to 4x(x-2)\quad\vdots\quad x^2-2x-1$
$\to 4x^2-8x\quad\vdots\quad x^2-2x-1$
$\to 4x^2-8x-4+4\quad\vdots\quad x^2-2x-1$
$\to 4(x^2-2x-1)+4\quad\vdots\quad x^2-2x-1$
$\to 4\quad\vdots\quad x^2-2x-1$
$\to x^2-2x-1\in U(4)$ vì $x\in Z$
$\to x^2-2x-1\in\{1, 2, 4, -1, -2 , -4\}$
$\to x^2-2x+1\in\{3, 4, 6, 1, 0 , -2\}$
$\to (x-1)^2\in\{3, 4, 6, 1, 0 , -2\}$
Mà $(x-1)^2$ là số chính phương
$\to (x-1)^2\in\{4, 1, 0\}$
$\to x\in\{3, -1, 0, 2, 1\}$
$\to y\in\{7, -1, 1, -7, -1\}$
$\to (x,y)\in\{(3,7), (-1, -1), (0, 1) , (2, -7), (1, -1)\}$