Tìm tất cả các số nguyên a để a + 7 và a + 23 là số chính phương (phiền đọc kĩ đề, giải thích rõ ràng)

0 bình luận về “Tìm tất cả các số nguyên a để a + 7 và a + 23 là số chính phương (phiền đọc kĩ đề, giải thích rõ ràng)”

1. Đáp án: $a = 2; a = – 7$

    

   Giải thích các bước giải:

   $ m² = a + 7 (m ∈ Z)$

   $ n² = a + 23 (n ∈ Z)$

   $⇒ n² – m² = 16 ⇔ (n + m)(n – m) = 16$

   $⇔$

   \(\left[ \begin{array}{l}n + m = ±16 (1)\\n – m = ±1(2)\end{array} \right.\)

   $(1) +(2) ⇒ 2n = ±17 ⇒ n = ± \frac{17}{2} ⇒ n² = \frac{289}{4} ⇒ a = 23 – \frac{289}{4} =  – \frac{197}{4} $ ( không thỏa)

   Tương tự:

   \(\left[ \begin{array}{l}n + m = ±8\\n – m = ±2\end{array} \right.\)

   $n = ±5; ⇒ a = 2$

   \(\left[ \begin{array}{l}n + m = ±4\\n – m = ±4\end{array} \right.\)

   $n = ±4; ⇒ a = – 7$

   \(\left[ \begin{array}{l}n + m = ±2\\n – m = ±8\end{array} \right.\)

   $n = ±5; ⇒ a = 2$

   \(\left[ \begin{array}{l}n + m = ±1\\n – m = ±16\end{array} \right.\)

   $n = ±\frac{17}{2}; a = – \frac{197}{4} $ ( không thỏa)

   Bình luận

2. Đáp án: $a\in\{2,-7\}$

   Giải thích các bước giải:

   Để $a+7,a+23$ là số chính phương

   $\to\begin{cases} a+7=x^2,x\in N\\a+23=y^2,y\in N\end{cases}$

   $\to y^2-x^2=16$

   $\to (y-x)(y+x)=16$

   $\to (y-x,y+x)$ là cặp ước của 16

   Mà $y-x+y+x=2y$ chẵn, $y-x\le y+x, y+x\ge 0 (x,y\in  N)$

   $\to (y-x,y+x)\in\{(2,8), (4,4)\}$

   $\to (x,y)\in\{(3,5),(0,4)\}$

   $\to (a+7,a+23)\in\{(9,25),(0,16)\}$

   $\to a=2$ hoặc $a=-7$

   Bình luận