Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 1!+2!+···+n! là số nguyên tố.

Đáp án: $n=2$

Giải thích các bước giải:

Đặt $S=1!+2!+…..+n!$

Xét các trường hợp:

-Nếu $n=1⇒S=1!=1$ (loại)

-Nếu $n=2⇒S=1!+2!=1+2=3$ (thỏa mãn)

-Nếu $n=3⇒S=1!+2!+3!=1+2+6=9$ (loại)

-Nếu $n=4⇒S=1!+2!+3!+4!=33$ (loại)

-Nếu $n=5⇒S=1!+2!+3!+4!+5!=153$ (loại)

-Nếu $n>5$

Ta có: $n!=1.2.3.4.5.6…..n=720……n\vdots9$

$⇒6!;7!;8!;…..$ chia hết cho $9$

Khi đó: $S=1!+2!+3!+…..+n!=153+6!+7!+…..+n!\vdots9$

$⇒S$ là hợp số (loại)

Vậy $n=2$