Tìm tất cả các số nguyên dương x,y sao cho `x+1⋮y` và `y+1⋮x`

0 bình luận về “Tìm tất cả các số nguyên dương x,y sao cho `x+1⋮y` và `y+1⋮x`”

1. Đáp án: $(x,y)\in\{(1,1), (1,2), (2, 1), (2, 3), (3,2 )\}$

   Giải thích các bước giải:

   Không mất tính tổng quát giả sử $x\le y$

   Nếu $x=1\to x+1=2$

   Vì $x+1\quad\vdots\quad y$

   $\to 2\quad\vdots\quad y$

   $\to y\in\{1,2\}$

   $\to (x,y)\in\{(1,1), (1,2)\}$

   Nếu $x\ge 2\to 2\le x\le y$

   Ta có:

   $\begin{cases}x+1\quad\vdots\quad y\\y+1\quad\vdots\quad x\end{cases}$

   $\to (x+1)(y+1)\quad\vdots\quad  xy$

   $\to xy+x+y+1\quad\vdots\quad  xy$

   $\to x+y+1\quad\vdots\quad  xy$

   $\to \dfrac{x+y+1}{xy}\in Z$

   $\to \dfrac1y+\dfrac1x+\dfrac1{xy}\in Z$

   Mà $2\le x\le y$

   $\to \dfrac1y+\dfrac1x+\dfrac1{xy}\le\dfrac12+\dfrac12+\dfrac14=\dfrac54$

   Do $x,y\in Z^+\to \dfrac1y+\dfrac1x+\dfrac1{xy}>0$

   $\to 1=\dfrac1y+\dfrac1x+\dfrac1{xy}$

   $\to 1\le\dfrac1x+\dfrac1x+\dfrac1{2x}=\dfrac5{2x}$

   $\to 2x\le 5$

   $\to x\le 2.5$

   Mà $x\ge 2, x\in N$

   $\to x=2$

   $\to \dfrac12+\dfrac1y+\dfrac1{2y}=1\to y=3$

   Trả lời