Tìm tất cả các số tự nhiên n để 18n+3/21n+7 có thể rút gọn được

0 bình luận về “Tìm tất cả các số tự nhiên n để 18n+3/21n+7 có thể rút gọn được”

1. Đáp án:

   Gọi `ƯCLN(18n+3,21n+7)` là `d`

   `=>` $\begin{cases}18n+3\vdots d\\21n+7\vdots d\end{cases}$ `=>` $\begin{cases}7(18n+3)\vdots d\\6(21n+7)\vdots d\end{cases}$ `=>` $\begin{cases}126n+21\vdots d\\126n+42\vdots d\end{cases}$

   `=> (126+42)-(126+21) vdots d`

   `=> 21 vdots d`

   `=> d in Ư(21)`

   Mà `d` là số nguyên tố `=> d in {3;7}`

   Có : `7` $\not{\vdots}$ `3`

   `=> 21n+7` $\not{\vdots}$ `3`

   `=> n vdots 7`

   `=> 18n+3-21 vdots 7`

   `=> 18n-18 vdots 7`

   `=> 18(n-1) vdots 7`

   `=> n-1 vdots 7` ( vì `(18,7)=1`)

   `=> n-1=7k` `(k in NN)`

   `=> n=7k+1`

   Vậy với `n=7k+1` thì phân số `(18n+3)/(21n+7)` rút gọn được

   Bình luận

2. Để `(18n+3)/(21n+7)` có thể rút gọn được thì `18n+3` và `21n+7` cùng chia hết cho số nguyên tố `p`.

   Ta có $ƯCLN(18n+3,21n+7)=d$

   $\begin{cases}18n+3\vdots d\\21n+7\vdots d\end{cases}$

   $\begin{cases}7(18n+3)\vdots d\\6(21n+7)\vdots d\end{cases}$

   $\begin{cases}126n+21\vdots d\\126n+42\vdots d\end{cases}$

   $(126+42)-(126+21)=21$ $\vdots$ `d`

   Vậy `d inƯ(21)`

   Do `d` là là tập hợp số nguyên tố `p` nên `d in{3;7}`.

   Mà `21n+7` $\not{\vdots}$ `3` do `7` $\not{\vdots}$ `3`.

   Vậy `n vdots 7`.

   `=>18n+3-21 vdots 7`

   `=>18n-18 vdots 7`

   `=>18(n-1) vdots 7`

   Mà `ƯCLN(18,7)=1` nên `n-1 vdots 7`

   `n-1=7k` với `k inN`

   `=>n=7k+1`

   Vậy để `(18n+3)/(21n+7)` rút gọn được thì `n=7k+1` với `k inN`.

    

   Bình luận