Tìm tất cả n là các số nguyên dương sao cho 60+2n-n^2 là số chính phương

Đáp án: $n\in\{6,7\}$

Giải thích các bước giải:

Để $60+2n-n^2$ là số chính phương

$\to 60+2n-n^2=m^2 , m\in N$

$\to m^2+n^2-2n=60$

$\to m^2+n^2-2n+1=61$

$\to m^2+(n-1)^2=61$

$\to (n-1)^2\le 61$

$\to 0\le n-1\le 7 $ vì $n\in Z^+$

Ta có số chính phương có tận cùng là $0,1,4,5,6,9$

Vì $m^2+(n-1)^2=61$ tận cùng là $1$

$\to (n-1)^2$ chỉ có thể có tận cùng là $0,1,5,6$

Mà $0\le n-1\le 7$

$\to n-1\in\{0,1,5,6\}$

$\to n\in\{1,2,6,7\}$

Lại có: $ m^2=61-(n-1)^2$

$\to m^2\in\{61, 60, 36,25\}$

Vì $m^2$ là số chính phương $\to m^2\in\{36,25\}$

$\to n\in\{6,7\}$