Tìm tất cả n là số tự nhiên thỏa mãn n không vượt quá 2021 và n^5 +2021 chia hết cho 30

0 bình luận về “Tìm tất cả n là số tự nhiên thỏa mãn n không vượt quá 2021 và n^5 +2021 chia hết cho 30”

1. Giải thích các bước giải:

   Ta có:

   $A=n^5-n$

   $\to A=n(n^4-1)$

   $\to A=n(n-1)(n+1)(n^2+1)$

   $\to A=n(n-1)(n+1)(n^2-4+5)$

   $\to A=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5n(n-1)(n+1)$

   Vì $n-2, n-1, n, n+1,n+2$ là $5$ số tự nhiên liên tiếp
   $\to n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)\quad\vdots\quad 2, 3, 5$

   $\to n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)\quad\vdots\quad 2\cdot3\cdot 5=30$ vì $(2, 3, 5)=1$

   Lại có $n-1, n, n+1$ là $3$ số tự nhiên liên tiếp

   $\to (n-1)n(n+1)\quad\vdots\quad 2,3$

   $\to (n-1)n(n+1)\quad\vdots\quad 6$ vì $(2,3)=1$

   $\to 5 (n-1)n(n+1)\quad\vdots\quad30$

   $\to n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5n(n-1)(n+1)\quad\vdots\quad30$

   $\to n^5-n\quad\vdots\quad30$

   Để $n^5+2021\quad\vdots\quad 30$

   $\to (n^5-n)+(n+2021)\quad\vdots\quad 30$

   $\to n+2021\quad\vdots\quad 30$

   $\to n+11+2010\quad\vdots\quad 30$

   $\to n+11\quad\vdots\quad 30$

   $\to n+11=30k, k\in N*$ vì $n\in N\to n\ge 0\to n+11\ge 11\to 30k\ge 11\to k>0$

   $\to n=30k-11$

   Mà $n\le 2021$

   $\to 30k-11\le 2021\to k\le 67$

   Lại có $k>0\to 1\le k \le 67$

   $\to$Có $67$ số tự nhiên $n$ thỏa mãn đề có dạng $30k-11$ với $k\in N$ và $1\le k\le 67$

   Trả lời