Tìm tất cả số nguyên x,y thỏa mãn x^2 + 8y^2 + 4xy -2x – 4y =4 09/08/2021 Bởi Eloise Tìm tất cả số nguyên x,y thỏa mãn x^2 + 8y^2 + 4xy -2x – 4y =4
Đáp án: $(x;y)∈\{(0;1);(-2;1);(4;-1);(2;-1)\}$ Giải thích các bước giải: Ta có: $x^2+8y^2+4xy-2x-4y=4$ $⇔[(x^2+4xy+4y^2)-(2x+4y)+1]+4y^2=5$ $⇔[(x+2y)^2-2(x+2y)+1]+4y^2=5$ $⇔(x+2y-1)^2+4y^2=5$ Do $x;y∈Z⇒x+y-1∈Z;y∈Z$ $⇔(x+2y-1)^2;4y^2$ là các số chính phương Nhận xét: $5=1+4$ Mà $4y^2\vdots 4$ nên chỉ xảy ra trường hợp: $\begin{cases}(x+2y-1)^2=1\\4y^2=4\end{cases}⇔\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x+2y-1=1\\y=1\end{cases}\\\begin{cases}x+2y-1=-1\\y=1\end{cases}\\\begin{cases}x+2y-1=1\\y=-1\end{cases}\\\begin{cases}x+2y-1=-1\\y=-1\end{cases}\end{array} \right.⇔\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}\\\begin{cases}x=-2\\y=1\end{cases}\\\begin{cases}x=4\\y=-1\end{cases}\\\begin{cases}x=2\\y=-1\end{cases}\end{array} \right.$ Bình luận
Đáp án: `(x;y) in {(0;1);(-2;1);(2;-1);(4-1)}` Giải thích các bước giải: `x^2 + 8y^2 + 4xy – 2x – 4y =4` `<=> (x^2 + 2y -1)^2+ 4y^2 =5` Do `4y^2 vdots 4` `(x^2 + 2y -1)^2 ge 0` `4y^2 ge 0` Nên $\begin{cases} 4y^2=4\\(x+2y-1)^2 =1\end{cases}$ `<=>`$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l}y=1\\y=-1\end{array} \right. \\(x+2y-1)^2=1 \end{cases}$ `<=>`\(\left[ \begin{array}{l} \begin{cases} y=1\\(x+1)^2=1 \end{cases} \\ \begin{cases} y=-1\\(x-3)^2=-1 \end{cases} \end{array} \right.\) `<=>` $\left[ \begin{array}{l} \begin{cases} y=1\\\left[ \begin{array}{l}x=0\\x=-2\end{array} \right. \end{cases} \\ \begin{cases} y=-1\\\left[ \begin{array}{l}x=2\\x=4\end{array} \right. \end{cases} \end{array} \right. $ `text(thỏa mãn x,y nguyên)` Vậy `(x,y) in {(0;1);(-2;1);(2;-1);(4-1)}` Bình luận
Đáp án: $(x;y)∈\{(0;1);(-2;1);(4;-1);(2;-1)\}$
Giải thích các bước giải:
Ta có: $x^2+8y^2+4xy-2x-4y=4$
$⇔[(x^2+4xy+4y^2)-(2x+4y)+1]+4y^2=5$
$⇔[(x+2y)^2-2(x+2y)+1]+4y^2=5$
$⇔(x+2y-1)^2+4y^2=5$
Do $x;y∈Z⇒x+y-1∈Z;y∈Z$
$⇔(x+2y-1)^2;4y^2$ là các số chính phương
Nhận xét: $5=1+4$
Mà $4y^2\vdots 4$ nên chỉ xảy ra trường hợp:
$\begin{cases}(x+2y-1)^2=1\\4y^2=4\end{cases}⇔\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x+2y-1=1\\y=1\end{cases}\\\begin{cases}x+2y-1=-1\\y=1\end{cases}\\\begin{cases}x+2y-1=1\\y=-1\end{cases}\\\begin{cases}x+2y-1=-1\\y=-1\end{cases}\end{array} \right.⇔\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}\\\begin{cases}x=-2\\y=1\end{cases}\\\begin{cases}x=4\\y=-1\end{cases}\\\begin{cases}x=2\\y=-1\end{cases}\end{array} \right.$
Đáp án:
`(x;y) in {(0;1);(-2;1);(2;-1);(4-1)}`
Giải thích các bước giải:
`x^2 + 8y^2 + 4xy – 2x – 4y =4`
`<=> (x^2 + 2y -1)^2+ 4y^2 =5`
Do `4y^2 vdots 4`
`(x^2 + 2y -1)^2 ge 0`
`4y^2 ge 0`
Nên $\begin{cases} 4y^2=4\\(x+2y-1)^2 =1\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l}y=1\\y=-1\end{array} \right. \\(x+2y-1)^2=1 \end{cases}$
`<=>`\(\left[ \begin{array}{l} \begin{cases} y=1\\(x+1)^2=1 \end{cases} \\ \begin{cases} y=-1\\(x-3)^2=-1 \end{cases} \end{array} \right.\)
`<=>` $\left[ \begin{array}{l} \begin{cases} y=1\\\left[ \begin{array}{l}x=0\\x=-2\end{array} \right. \end{cases} \\ \begin{cases} y=-1\\\left[ \begin{array}{l}x=2\\x=4\end{array} \right. \end{cases} \end{array} \right. $ `text(thỏa mãn x,y nguyên)`
Vậy `(x,y) in {(0;1);(-2;1);(2;-1);(4-1)}`