tìm x thuộc Z để Q =[ 2 căn (x) ]/[ x- căn( x) +1] thuộc Z

Đáp án:

Điều kiện:`x>=0`

`=>x-sqrtx+1`

`=(sqrtx-1/2)^2+3/4>=3/4>0`

Mà `2sqrtx>=0`

`=>A>=0`

`**A=0<=>x=0`

`**x>0=>A>0(1)`

Chia cả tử và mẫu cho `sqrtx` ta có:

`A=2/(sqrtx-1+1/sqrtx)`

Áp dụng bđt cosi ta có:

`sqrtx+1/sqrtx>=2`

`=>sqrtx-1+1/sqrtx>=2-1=1`

`=>A<=2(2)`

`(1)(2)=>0<A<=2`

Mà `A in ZZ`

`=>A in {1,2}`

`+)A=1`

`<=>x-sqrtx+1=2sqrtx`

`<=>x-3sqrtx+1=0`

Đặt `sqrtx=a(a>0)`

`pt<=>a^2-3a+1=0`

`<=>a=(3+-sqrt5)/2`

`<=>x=(3+-sqrt5)^2/4 cancelin ZZ(l)`

`+)A=2`

`<=>2x-2sqrtx+2=2sqrtx`

`<=>x-sqrtx+1=sqrtx`

`<=>x-2sqrtx+1=0`

`<=>(sqrtx-1)^2=0`

`<=>x=1`

Vậy `x in {0,1}` thì `Q in ZZ`.