Tìm ƯCLN (a,b), biết : a = 1 + 2 + 3 + … + n b = 2n + 1 ( n thuộc số tự nhiên khác 0 ) giúp em với ! 17/08/2021 Bởi Remi Tìm ƯCLN (a,b), biết : a = 1 + 2 + 3 + … + n b = 2n + 1 ( n thuộc số tự nhiên khác 0 ) giúp em với !
Đáp án: ƯCLN (a,b) = 1. Giải thích các bước giải: Ta có: a = 1 + 2 + 3 + … + n Tổng a có số số hạng là: $\frac{n-1}{1}$ + 1 = n (số hạng) ⇒ a = $\frac{n(n+1)}{2}$ Gọi d là ƯCLN (a,b) (d ∈ N*) thì a và b đều chia hết cho d Ta có: * a chia hết cho d ⇔ $\frac{n(n+1)}{2}$ chia hết cho d ⇔ 4.$\frac{n(n+1)}{2}$ chia hết cho d ⇔ 2.($n^{2}$ + n) chia hết cho d ⇔ (2$n^{2}$ + 2n) chia hết cho d (1) * b chia hết cho d ⇔ 2n + 1 chia hết cho d ⇔ n.(2n + 1) chia hết cho d ⇔ (2$n^{2}$ + n) chia hết cho d (2) Từ (1) và (2) suy ra: (2$n^{2}$ + 2n) – (2$n^{2}$ + n) chia hết cho d ⇔ n chia hết cho d ⇔ 2n chia hết cho d mà (2n + 1) chia hết cho d ⇒ 1 chia hết cho d ⇒ d = 1 hay ƯCLN (a,b) = 1. Bình luận
Đáp án: ƯCLN (a,b) = 1.
Giải thích các bước giải:
Ta có: a = 1 + 2 + 3 + … + n
Tổng a có số số hạng là: $\frac{n-1}{1}$ + 1 = n (số hạng)
⇒ a = $\frac{n(n+1)}{2}$
Gọi d là ƯCLN (a,b) (d ∈ N*) thì a và b đều chia hết cho d
Ta có:
* a chia hết cho d ⇔ $\frac{n(n+1)}{2}$ chia hết cho d
⇔ 4.$\frac{n(n+1)}{2}$ chia hết cho d ⇔ 2.($n^{2}$ + n) chia hết cho d
⇔ (2$n^{2}$ + 2n) chia hết cho d (1)
* b chia hết cho d ⇔ 2n + 1 chia hết cho d
⇔ n.(2n + 1) chia hết cho d ⇔ (2$n^{2}$ + n) chia hết cho d (2)
Từ (1) và (2) suy ra: (2$n^{2}$ + 2n) – (2$n^{2}$ + n) chia hết cho d
⇔ n chia hết cho d ⇔ 2n chia hết cho d mà (2n + 1) chia hết cho d
⇒ 1 chia hết cho d ⇒ d = 1 hay ƯCLN (a,b) = 1.