Tìm x,y biết : |x-2|+|x-5|+|x-y+1|+|x-2017|=2015 help cho 5 sao 06/07/2021 Bởi Athena Tìm x,y biết : |x-2|+|x-5|+|x-y+1|+|x-2017|=2015 help cho 5 sao
Đáp án: Ta có: |x-2|+|x-5|+|x-5|+|x-y+1|+|x-2017l = (l x – 2l + l 5-xl ) + ( l x- 5l + l 2017- xl ) + l x – y+ 1l ≥ ( l x- 2 + 5- xl ) + (lx-5+ 2017-xl ) + 0 = l3l + l2012l = 3+ 2012 = 2015 ⇒ |x-2|+|x-5|+|x-5|+|x-y+1|+|x-2017l ≥ 2015 Dấu “=” xảy ra ⇔ ( x-2). (5-x) ≥ 0 ; (x-5). (2017 -x) ≥0 và l x – y+ 1l = 0 Xét ( x-2). (5-x) ≥ 0 và (x-5). (2017 -x) ≥ 0 ⇒ (x-2). (x- 5) ≤ 0 và (x-5). (x-2017) ≤ 0 ⇒ 2 ≤ x ≤ 5 và 5≤ x ≤2017 ⇒ 5 ≤ x ≤ 5 ⇒ x= 5 Nên l 5 – y+ 1l = 0 5 – y = -1 y = 5+ 1= 6 Vậy |x-2|+|x-5|+|x-5|+|x-y+1|+|x-2017|=2015 ⇔ x = 5 ; y= 6 Giải thích các bước giải: Bình luận
`|x – 2| + |x – 5| + |x – y + 1| + |x – 2017| = 2015` `<=> |x – 2| + |x – 5| + |x – y + 1| + |2017 – x| = 2015` `<=> (|x – 2| + |2017 – x|) + (|x – 5| + |x – y + 1|) = 2015` `+)` Áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối `|x| + |y| >= |x + y|`, ta có: `|x – 2| + |2017 – x| >= |x – 2 + 2017 – x| = |2015| = 2015` `=> |x – 2| + |2017 – x| >= 2015(**)` `+)` Ta có: `|x – 5| >= 0 AA x, |x – y + 1| >= 0 AA x, y` `=> |x – 5| + |x – y + 1| >= 0 AA x, y(***)` Từ `(**)` và`(***)` ` => (|x – 2| + |2017 – x|) + (|x – 5| + |x – y + 1|) >= 2015` Dấu “`=`” xảy ra `<=> |x – 5| + |x – y + 1| = 0` `<=>` \(\left\{\begin{matrix}|x – 5| = 0\\|x – y + 1| = 0\end{matrix}\right.\) `<=>` \(\left\{\begin{matrix}x – 5 = 0\\x – y + 1 = 0\end{matrix}\right.\) `<=>` \(\left\{\begin{matrix}x = 5\\x – y = -1\end{matrix}\right.\) `<=>` \(\left\{\begin{matrix}x = 5\\5 – y = -1\end{matrix}\right.\) `<=>` \(\left\{\begin{matrix}x = 5\\y = 6\end{matrix}\right.\) Vậy `x = 5, y = 6` Bình luận
Đáp án:
Ta có:
|x-2|+|x-5|+|x-5|+|x-y+1|+|x-2017l
= (l x – 2l + l 5-xl ) + ( l x- 5l + l 2017- xl ) + l x – y+ 1l
≥ ( l x- 2 + 5- xl ) + (lx-5+ 2017-xl ) + 0 = l3l + l2012l = 3+ 2012 = 2015
⇒ |x-2|+|x-5|+|x-5|+|x-y+1|+|x-2017l ≥ 2015
Dấu “=” xảy ra ⇔
( x-2). (5-x) ≥ 0 ; (x-5). (2017 -x) ≥0 và l x – y+ 1l = 0
Xét ( x-2). (5-x) ≥ 0 và (x-5). (2017 -x) ≥ 0
⇒ (x-2). (x- 5) ≤ 0 và (x-5). (x-2017) ≤ 0
⇒ 2 ≤ x ≤ 5 và 5≤ x ≤2017
⇒ 5 ≤ x ≤ 5 ⇒ x= 5
Nên l 5 – y+ 1l = 0
5 – y = -1
y = 5+ 1= 6
Vậy |x-2|+|x-5|+|x-5|+|x-y+1|+|x-2017|=2015 ⇔ x = 5 ; y= 6
Giải thích các bước giải:
`|x – 2| + |x – 5| + |x – y + 1| + |x – 2017| = 2015`
`<=> |x – 2| + |x – 5| + |x – y + 1| + |2017 – x| = 2015`
`<=> (|x – 2| + |2017 – x|) + (|x – 5| + |x – y + 1|) = 2015`
`+)` Áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối `|x| + |y| >= |x + y|`, ta có:
`|x – 2| + |2017 – x| >= |x – 2 + 2017 – x| = |2015| = 2015`
`=> |x – 2| + |2017 – x| >= 2015(**)`
`+)` Ta có:
`|x – 5| >= 0 AA x, |x – y + 1| >= 0 AA x, y`
`=> |x – 5| + |x – y + 1| >= 0 AA x, y(***)`
Từ `(**)` và`(***)`
` => (|x – 2| + |2017 – x|) + (|x – 5| + |x – y + 1|) >= 2015`
Dấu “`=`” xảy ra
`<=> |x – 5| + |x – y + 1| = 0`
`<=>` \(\left\{\begin{matrix}|x – 5| = 0\\|x – y + 1| = 0\end{matrix}\right.\)
`<=>` \(\left\{\begin{matrix}x – 5 = 0\\x – y + 1 = 0\end{matrix}\right.\)
`<=>` \(\left\{\begin{matrix}x = 5\\x – y = -1\end{matrix}\right.\)
`<=>` \(\left\{\begin{matrix}x = 5\\5 – y = -1\end{matrix}\right.\)
`<=>` \(\left\{\begin{matrix}x = 5\\y = 6\end{matrix}\right.\)
Vậy `x = 5, y = 6`