Tìm x, y biết $x^3$+$y^3$=3xy-1
Tính M= $x^{105}$+$y^{105}$ biết x; y là các số thực dương
Giúp tui có kết quả trc 11h45 nha, giải chỉ tiết nhé 😉
Tìm x, y biết $x^3$+$y^3$=3xy-1
Tính M= $x^{105}$+$y^{105}$ biết x; y là các số thực dương
Giúp tui có kết quả trc 11h45 nha, giải chỉ tiết nhé 😉
Đáp án:
$M = 2$
Giải thích các bước giải:
$\begin{array}{l}\quad x^3 + y^3 = 3xy – 1\qquad (x;\,y >0)\\ \to (x+y)^3 – 3xy(x+y) = 3xy -1\\ \to (x+y)^3+ 1 – 3xy(x+y) – 3xy = 0\\ \to (x+y+1)[(x+y)^2 – (x+y) + 1] – 3xy(x+y+1) =0\\ \to (x+y+1)(x^2 + 2xy + y^2 – x – y + 1 – 3xy) =0\\ \to (x+y+1)(x^2 +y^2 – xy – x – y + 1) =0\\ \to x^2 + y^2 -xy -x – y + 1 =0\qquad (Do\,\,x;\,y>0 \to x+y+1 >0)\\ \to 4x^2 + 4y^2 – 4xy -4x – 4y + 4 =0\\ \to (4x^2 – 4xy + y^2 – 4x + 2y + 1) + (3y^2 – 6y + 3) =0\\ \to (2x -y – 1)^2 + 3(y-1)^2 =0\\ \to \begin{cases}2x – y – 1 =0\\y – 1 =0\end{cases}\\ \to \begin{cases}x = 1\\y = 1\end{cases}\\ \text{Khi đó:}\\ \quad M = x^{105} + y^{105}\\ \to M = 1^{105} + 1^{105}\\ \to M = 1 + 1 =2 \end{array}$
Đáp án:2
Giải thích các bước giải:
pt đã cho⇔x³+y³-3xy+1=0
⇔(x+y)³+1-3xy(x+y)-3xy=0
⇔(x+y+1)((x+y)²-x-y+1)-3xy(x+y+1)=0
⇔(x+y+1)(x²+y²+2xy-3xy-x-y+1)=0
⇔(x+y+1)(x²+y²-xy-x-y+1)=0 mà x,y>0 nên x+y>0
⇒x²+y²-xy-x-y+1=0
⇔2x²+2y²-2xy-2x-2y+2=0
⇔x²-2xy+y²+x²-2x+1+y²-2y+1=0
⇔(x-y)²+(x-1)²+(y-1)²=0 vì (x-y)²,(x-1)²,(y-1)²≥0∀x,y
⇒x-y=y-1=x-1=0
⇔x=y=1
⇔M=1+1=2
cho mk xin ctlhn vs 5* nha