Tìm x,y là các số nguyên thỏa mãn : (x+1)^2 + (y+1)^2 + (x+y)(x^2 + y^2) = 4

0 bình luận về “Tìm x,y là các số nguyên thỏa mãn : (x+1)^2 + (y+1)^2 + (x+y)(x^2 + y^2) = 4”

1. Đáp án: $(x; y) = (1; -1); (- 1;1)$

    

   Giải thích các bước giải:

   $(x + 1)² + (y + 1)² + (x + y)(x² + y²) = 4$

   $ ⇔ x² + y² + 2(x + y + 1) + (x + y)(x² + y²) = 4$

   $ ⇔ (x + y + 1)(x² + y²) + 2(x + y + 1) = 4$

   $ ⇔ (x + y + 1)(x² + y² + 2) = 4$

   @ $\left \{ {{x + y + 1 = 1} \atop {x² + y² + 2 = 4}} \right.⇔\left \{ {{x = – y} \atop {2x² + 2 = 4}} \right.⇔\left \{ {{x = – y = ±1} \atop {x² = 1}} \right.$ 

   @ $\left \{ {{x + y + 1 = 2} \atop {x² + y² + 2 = 2}} \right.⇔\left \{ {{x + y = 1} \atop {x² + y² = 0}} \right.$ ( vô nghiệm)

    

   Bình luận

2. `(x+1)^2 + (y+1)^2 + (x+y)(x^2 + y^2) = 4`

   `⇔x^2+2x+1+y^2+2y+1+ (x+y)(x^2 + y^2) = 4`

   `⇔(x^2+y^2)+(2x+2y)+2+ (x+y)(x^2 + y^2) = 4`

   `⇔(x^2+y^2)+2(x+y)+ (x+y)(x^2 + y^2) = 4-2`

   `⇔(x^2+y^2)+2(x+y)+ (x+y)(x^2 + y^2) = 2`        $(*)$

   Đặt  `x^2+y^2=a, x+y=b`

   `⇒` $(*)$ `⇔ a+2b+ab=2`

   `⇔(a+ab)+2b+2=2+2`

   `⇔a(b+1)+2(b+1)=4`

   `⇔(b+1)(a+2)=4`                                                     $(**)$

   Thay ngược `x^2+y^2=a, x+y=b` vào $(**)$ ta có:

   `(x+y+1)(x^2+y^2+2)=4`

   Vì `x, y∈ZZ⇒x+y+1; x^2+y^2+2 ∈ZZ ⇒ x+y+1; x^2+y^2+2 ∈ Ư(4)={±1;±2;±4}`

   Ta dễ chứng minh được `x^2+y^2+2\gex+y+1` và dễ thấy `x^2+y^2+2>0` nên ta có `2` trường hợp:

   $\boxed{ \text{TH_1}}:$ 

   $\begin{cases}x^2+y^2+2=4\\x+y+1=1\end{cases}$$\Leftrightarrow\begin{cases}2x^2=2\\x=-y\end{cases}$$\Leftrightarrow\begin{cases}x^2=1\\x=-y\end{cases}$

   $\Leftrightarrow\begin{cases}x=±1\\y=-x=±1\end{cases}$

   $\boxed{ \text{TH_2}}:$ 

   $\begin{cases}x^2+y^2+2=2\\x+y+1=2\end{cases}$$\Leftrightarrow\begin{cases}x^2+y^2=0\\x+y=1\end{cases}$

   $\Leftrightarrow\begin{cases}x=y=0\\x+y=1\end{cases}$`⇒` vô lí.

   Vậy tập nghiệm của phương trình: các cặp `(x;y)` là: $\boxed{ \text{(1;-1),(-1;1).}}$ 

   Bình luận