Tìm x,y là số tự nhiên khác 0 sao cho 2^x – 2^y = 224 12/10/2021 Bởi Iris Tìm x,y là số tự nhiên khác 0 sao cho 2^x – 2^y = 224
`2^x-2^y=224` `⇒2^x>2^y` `⇒x>y` `⇒x=y+k(k∈N_+)` `⇒2^(y+k)-2^y=224` `⇒2^y(2^k -1)=224` `2^k -1∈N⇒2^k -1∈Ư(224)` Mà `2^k -1` lẻ `(`vì `k>0)` `⇒2^k -1∈{1,7}` TH1:`2^k-1=1` `⇒2^y=224` Mà `y∈N_+`⇒loại TH2:`2^k-1=7` `⇒2^k=8` `⇒k=3` `⇒2^y =224:7` `⇒2^y=32` `⇒y=5` `⇒x=y+k=5+3=8` Vậy `(x,y)` là:`(8,5)` Bình luận
Đáp án: $x=8,y=5$ Giải thích các bước giải: Ta có $2^x-2^y=224>0$$\to 2^x>2^y$$\to x>y$Đặt $x=y+n, n\in N^*$$\to 2^{y+n}-2^y=224$$\to 2^y.2^n-2^y=224$$\to 2^y(2^n-1)=224$ $\to (2^y, 2^n-1)$ là cặp ước của $224$ Vì $n\in N^*\to n\ge 1\to 2^n-1$ lẻ Mà $2^y>0$ $\to (2^y, 2^n-1)\in\{(224,1), (32,7)\}$ $\to (2^y, 2^n)\in\{(224,2), (32,8)\}$ $\to (2^y, 2^n)=(32, 8)$ $\to (2^y, 2^n)=(2^5, 2^3)$ $\to (y,n)=(5,3)$ $\to x=y+n=8$ Bình luận
`2^x-2^y=224`
`⇒2^x>2^y`
`⇒x>y`
`⇒x=y+k(k∈N_+)`
`⇒2^(y+k)-2^y=224`
`⇒2^y(2^k -1)=224`
`2^k -1∈N⇒2^k -1∈Ư(224)`
Mà `2^k -1` lẻ `(`vì `k>0)`
`⇒2^k -1∈{1,7}`
TH1:`2^k-1=1`
`⇒2^y=224`
Mà `y∈N_+`⇒loại
TH2:`2^k-1=7`
`⇒2^k=8`
`⇒k=3`
`⇒2^y =224:7`
`⇒2^y=32`
`⇒y=5`
`⇒x=y+k=5+3=8`
Vậy `(x,y)` là:`(8,5)`
Đáp án: $x=8,y=5$
Giải thích các bước giải:
Ta có $2^x-2^y=224>0$
$\to 2^x>2^y$
$\to x>y$
Đặt $x=y+n, n\in N^*$
$\to 2^{y+n}-2^y=224$
$\to 2^y.2^n-2^y=224$
$\to 2^y(2^n-1)=224$
$\to (2^y, 2^n-1)$ là cặp ước của $224$
Vì $n\in N^*\to n\ge 1\to 2^n-1$ lẻ
Mà $2^y>0$
$\to (2^y, 2^n-1)\in\{(224,1), (32,7)\}$
$\to (2^y, 2^n)\in\{(224,2), (32,8)\}$
$\to (2^y, 2^n)=(32, 8)$
$\to (2^y, 2^n)=(2^5, 2^3)$
$\to (y,n)=(5,3)$
$\to x=y+n=8$