Tìm x,y nguyên >0 thoả mãn: `x^2 + y^2 – z^2 + z + 1 = 2 ( x + y – xy )` 03/11/2021 Bởi Katherine Tìm x,y nguyên >0 thoả mãn: `x^2 + y^2 – z^2 + z + 1 = 2 ( x + y – xy )`
`x^2+y^2-z^2+z+1=2(x+y-xy)` `⇔x^2+y^2+1-2x-2y+2xy=z^2-z` `⇔(x+y-1)^2=z(z-1)` `⇔z(z-1)` là SCP mà `z(z-1)` là tích `2` số nguyên liên tiếp nên ko là SCP `⇔z(z-1)=0` `⇔(x+y-1)^2=0⇔x+y=1` Vậy `x+y=1` và `x,y\in NN`* Bình luận
Ta có : x² + y² – z² + z + 1 = 2(x+y-xy) ⇔ x² + y² +1 – 2(x+y-xy) = z² – z ⇔ (x+y-1)² = z(z-1) (*) Do VT (*) : (x+y-1)² là số chính phương nên VP (*) cũng là số chính phương. ⇒ z(z-1) là số chính phương. Mà z(z-1) là tích 2 số nguyên liên tiếp. ⇒ z=0 hoặc z=1. TH1 : z=0 ⇒ x+y=1 ⇒x,y là những cặp số nguyên thỏa mãn sao cho x +y =1 TH2 : z=1 ⇒ x+y =1 ⇒ x,y là những cặp số nguyên thỏa mãn có tổng bằng 1. Bình luận
`x^2+y^2-z^2+z+1=2(x+y-xy)`
`⇔x^2+y^2+1-2x-2y+2xy=z^2-z`
`⇔(x+y-1)^2=z(z-1)`
`⇔z(z-1)` là SCP mà `z(z-1)` là tích `2` số nguyên liên tiếp nên ko là SCP
`⇔z(z-1)=0`
`⇔(x+y-1)^2=0⇔x+y=1`
Vậy `x+y=1` và `x,y\in NN`*
Ta có :
x² + y² – z² + z + 1 = 2(x+y-xy)
⇔ x² + y² +1 – 2(x+y-xy) = z² – z
⇔ (x+y-1)² = z(z-1) (*)
Do VT (*) : (x+y-1)² là số chính phương nên VP (*) cũng là số chính phương.
⇒ z(z-1) là số chính phương.
Mà z(z-1) là tích 2 số nguyên liên tiếp.
⇒ z=0 hoặc z=1.
TH1 : z=0
⇒ x+y=1
⇒x,y là những cặp số nguyên thỏa mãn sao cho x +y =1
TH2 : z=1
⇒ x+y =1
⇒ x,y là những cặp số nguyên thỏa mãn có tổng bằng 1.