tìm (x;y) nguyên dương thõa mãn : x $\sqrt[]{2y-1}$ + y $\sqrt[]{2x-1}$ = 2xy

0 bình luận về “tìm (x;y) nguyên dương thõa mãn : x $\sqrt[]{2y-1}$ + y $\sqrt[]{2x-1}$ = 2xy”

1. Đáp án: $ x = y = 1$

    

   Giải thích các bước giải:

   Điều kiện $: x; y ≥ \frac{1}{2}$ 

   $ PT ⇔ 4x\sqrt[]{2y – 1} + 4y\sqrt[]{2x – 1} = 2(2x)(2y) (*)$

   Đặt $ : u = \sqrt[]{2x – 1} ≥ 0; v = \sqrt[]{2y – 1} ≥ 0$

   $ ⇒ 2x = u² + 1; 2y = v² + 1$ thay vào $PT (*):$

   $ 2v(u² + 1) + 2u(v² + 1) = 2(u² + 1)(v² + 1)$

   $ ⇔ \frac{2u}{u² + 1} + \frac{2v}{v² + 1} = 2$

   $ ⇔ 1 – \frac{2u}{u² + 1} + 1 – \frac{2v}{v² + 1} = 0$

   $ ⇔ \frac{(u – 1)²}{u² + 1} + \frac{(v – 1)²}{v² + 1} = 0$

   $ ⇔ u – 1 = v – 1 = 0 ⇔ u = v = 1$

   $ ⇔ \sqrt[]{2x – 1} = \sqrt[]{2y – 1} = 1 ⇔ x = y = 1 (TM)$

    

   Bình luận