Tìm x, y, z ; biết: √x + √y-1 + √z-2 =1/2 (x+y+z) Giải bằng cách dùng BĐThức Cô-si.

0 bình luận về “Tìm x, y, z ; biết: √x + √y-1 + √z-2 =1/2 (x+y+z) Giải bằng cách dùng BĐThức Cô-si.”

1. Đáp án:

   \[x = 1;\,\,y = 2;\,\,z = 3\]

   Giải thích các bước giải:

    ĐKXĐ: \(x \ge 0,\,\,y \ge 1,\,\,z \ge 2\)

   Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho các số dương ta có:

   \(\begin{array}{l}
   x + 1 \ge 2\sqrt {x.1}  = 2\sqrt x \\
   \left( {y – 1} \right) + 1 \ge 2\sqrt {\left( {y – 1} \right).1}  = 2\sqrt {y – 1} \\
   \left( {z – 2} \right) + 1 \ge 2\sqrt {\left( {z – 2} \right).1}  = 2\sqrt {z – 2} \\
    \Rightarrow \left( {x + 1} \right) + \left[ {\left( {y – 1} \right) + 1} \right] + \left[ {\left( {z – 2} \right) + 1} \right] \ge 2\sqrt x  + 2\sqrt {y – 1}  + 2\sqrt {z – 2} \\
    \Leftrightarrow x + y + z \ge 2\left( {\sqrt x  + \sqrt {y – 1}  + \sqrt {z – 2} } \right)\\
    \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {x + y + z} \right) \ge \sqrt x  + \sqrt {y – 1}  + \sqrt {z – 2} 
   \end{array}\)

   Từ giả thiết suy ra dấu ‘=’ ở các bất đẳng thức trên phải xảy ra hay:

   \(\left\{ \begin{array}{l}
   x = 1\\
   y – 1 = 1\\
   z – 2 = 1
   \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   x = 1\\
   y = 2\\
   z = 3
   \end{array} \right.\)

   Vậy \(x = 1;\,\,y = 2;\,\,z = 3\)

   Bình luận