Tìm x ∈ Z sao cho ( 2x ³ – 8x ² + 3x) chia hết cho (x ² + 1)

Đáp án :$x\in\{0,2,-8\}$

Giải thích các bước giải:

$2x^3-8x^2+3x\quad\vdots\quad x^2+1$

$\leftrightarrow (2x^3+2x)-(8x^2+8)+x+8\quad\vdots\quad x^2+1$

$\leftrightarrow 2x(x^2+1)-8(x^2+1)+x+8\quad\vdots\quad x^2+1$

$\leftrightarrow x+8\quad\vdots\quad x^2+1$

$\leftrightarrow x+8=k( x^2+1), k\in Z$

$+)k=0\rightarrow x=-8$

$+)k\ne 0$

$\leftrightarrow k x^2-x+k-8=0(*)$

$\rightarrow (*)$ có nghiệm là số nguyên

$\rightarrow (*)$ có 2 nghiệm hữu tỉ 

$\rightarrow \Delta =1-4k(k-8) $ là số chính phương

$\rightarrow \Delta =1-4k^2+32k\ge 0\rightarrow 0\le k\le 8$

Mà $\Delta $ là số hữu tỉ

$\rightarrow k\in\{2,6,8\}, k\ne 0$

$+)k=2\rightarrow 2x^2-x-6=0\rightarrow x=2$

$+)k=6\rightarrow 6x^2-x-2=0\rightarrow x\notin Z$

$+)k=8\rightarrow 8x^2-x=0\rightarrow x=0$

Vậy $x\in\{0,2,-8\}$