Tìn m để phương trình có nghiệm: Sin^4x + cos^4x – cox2x + 1/4sin^2.2x + m = 0 26/09/2021 Bởi Amara Tìn m để phương trình có nghiệm: Sin^4x + cos^4x – cox2x + 1/4sin^2.2x + m = 0
Đáp án: $-\dfrac{17}4\le m\le-\dfrac94$ Lời giải: ${\sin }^4x+{\cos}^4x-\cos 2x+\dfrac{1}{4}{\sin}^2 2x+m=0$ $\Rightarrow ({\sin}^2x)^2+({\cos}^2x)^2+2{\sin}^2x{\cos}^2x-2{\sin}^2x{\cos}^2x-\cos 2x+\dfrac{1}{4}{\sin}^2 2x+m=0$ $\Rightarrow ({\sin}x^2+{\cos}^2x)^2-2{\sin}^2x{\cos}^2x-\cos 2x+\dfrac{1}{4}{\sin}^2 2x+m=0$ $\Rightarrow 1-2{\sin}^2x{\cos}^2x-\cos 2x+\dfrac{1}{4}{\sin}^2 2x+m=0$ $\Rightarrow 1-2(\dfrac{\sin2x}{2})^2-\cos 2x+\dfrac{1}{4}{\sin}^2 2x+m=0$ $\Rightarrow -\dfrac{1}{4}{\sin}^22x-\cos 2x+m+1=0$ $\Rightarrow -\dfrac{1}{4}(1-{\cos}^22x)-\cos 2x+m+1=0$ $\Rightarrow \dfrac{1}{4}{\cos}^22x-\cos 2x+m+\dfrac{3}{4}=0$ Để hàm số có nghiệm thì $\Delta \ge0$ $\Rightarrow 1^2-4.\dfrac{1}{4}(m+\dfrac{3}{4})\ge0$ $\Rightarrow -m-2\ge0$ $\Rightarrow m\le-2$ Do $-1\le\cos x\le1$ $\forall x$ Khi phương trình có hai nghiệm $\cos 2x=2(1-\sqrt{-m-2})$ và $\cos 2x=2(1+\sqrt{-m-2})$ Để phương trình có nghiệm $\Rightarrow -1\le 2(1-\sqrt{-m-2})\le1$ (1) hoặc $-1\le 2(1+\sqrt{-m-2})\le1$ (2) (1) $\Rightarrow -\dfrac12\le1-\sqrt{-m-2}\le\dfrac12$ $\Rightarrow \dfrac12\le\sqrt{-m-2}\le\dfrac32$ $\Rightarrow\begin{cases}-m-2\ge\dfrac14\\0\le-m-2\le\dfrac94\end{cases}$ $\Rightarrow \begin{cases}m\le-\dfrac94\\-\dfrac{17}4\le m\le-2\end{cases}$ $\Rightarrow -\dfrac{17}4\le m\le-\dfrac94$ (2) $\Rightarrow-\dfrac32\le\sqrt{-m-2}\le-\dfrac12$ (vô lý) Vậy $-\dfrac{17}4\le m\le-\dfrac94$ Bình luận
Đáp án:
$-\dfrac{17}4\le m\le-\dfrac94$
Lời giải:
${\sin }^4x+{\cos}^4x-\cos 2x+\dfrac{1}{4}{\sin}^2 2x+m=0$
$\Rightarrow ({\sin}^2x)^2+({\cos}^2x)^2+2{\sin}^2x{\cos}^2x-2{\sin}^2x{\cos}^2x-\cos 2x+\dfrac{1}{4}{\sin}^2 2x+m=0$
$\Rightarrow ({\sin}x^2+{\cos}^2x)^2-2{\sin}^2x{\cos}^2x-\cos 2x+\dfrac{1}{4}{\sin}^2 2x+m=0$
$\Rightarrow 1-2{\sin}^2x{\cos}^2x-\cos 2x+\dfrac{1}{4}{\sin}^2 2x+m=0$
$\Rightarrow 1-2(\dfrac{\sin2x}{2})^2-\cos 2x+\dfrac{1}{4}{\sin}^2 2x+m=0$
$\Rightarrow -\dfrac{1}{4}{\sin}^22x-\cos 2x+m+1=0$
$\Rightarrow -\dfrac{1}{4}(1-{\cos}^22x)-\cos 2x+m+1=0$
$\Rightarrow \dfrac{1}{4}{\cos}^22x-\cos 2x+m+\dfrac{3}{4}=0$
Để hàm số có nghiệm thì $\Delta \ge0$
$\Rightarrow 1^2-4.\dfrac{1}{4}(m+\dfrac{3}{4})\ge0$
$\Rightarrow -m-2\ge0$
$\Rightarrow m\le-2$
Do $-1\le\cos x\le1$ $\forall x$
Khi phương trình có hai nghiệm $\cos 2x=2(1-\sqrt{-m-2})$ và $\cos 2x=2(1+\sqrt{-m-2})$
Để phương trình có nghiệm
$\Rightarrow -1\le 2(1-\sqrt{-m-2})\le1$ (1)
hoặc $-1\le 2(1+\sqrt{-m-2})\le1$ (2)
(1) $\Rightarrow -\dfrac12\le1-\sqrt{-m-2}\le\dfrac12$
$\Rightarrow \dfrac12\le\sqrt{-m-2}\le\dfrac32$
$\Rightarrow\begin{cases}-m-2\ge\dfrac14\\0\le-m-2\le\dfrac94\end{cases}$
$\Rightarrow \begin{cases}m\le-\dfrac94\\-\dfrac{17}4\le m\le-2\end{cases}$
$\Rightarrow -\dfrac{17}4\le m\le-\dfrac94$
(2) $\Rightarrow-\dfrac32\le\sqrt{-m-2}\le-\dfrac12$ (vô lý)
Vậy $-\dfrac{17}4\le m\le-\dfrac94$
`=>` Bạn xem hình