Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1)

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1. $A=1.2+2.3+3.4+…+n.(n+1)$

   $⇒3A=3.[1.2+2.3+3.4+…+n.(n+1)]$

   $⇒3A=1.2.3+2.3.3+3.4.3+…+n.(n+1).3$

   $⇒3A=1.2.3+2.3.(4-1)+3.4.(5-2)+…+n.(n+1).[(n+2)-(n-1)]$

   $⇒3A=1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+…+n.(n+1).(n+2)-(n-1).n.(n+1)$

   $⇒3A=n.(n+1).(n+2)$

   $⇒A=\dfrac{n.(n+1).(n+2)}{3}$

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2. $A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1)$
   

   $⇔ 3A  =1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + n.(n+1).3$

   $⇔ 3A = 1.2.3 + 2.3.(4-1) + 3.4.(5-2) + ….. + n.(n+1).[n+2-(n-1)]$

   $⇔ 3A = 1.2.3 + 2.3.4 – 1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 + ….. + n.(n+1).(n+2) – (n-1).n.(n+1)$

   $⇔ 3A = n.(n+1).(n+2)$

   $⇔ A = \dfrac{n.(n+1).(n+2)}{3}$

    

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