Tính: A= 5^2/1.6 + 5^2/6.11 + 5^2/11.16 +…+ 5^2/26.31
Chứng tỏ: B= 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 +…+ 1/〖100〗^2 < 1
Tìm số nguyên x để: C= (2x+3)/(x-1) có giá trị nguyên
Chứng tỏ phân số có dạng: (n+1)/(3n+2) tối giản với mọi số nguyên n
Tính: A= 5^2/1.6 + 5^2/6.11 + 5^2/11.16 +…+ 5^2/26.31
Chứng tỏ: B= 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 +…+ 1/〖100〗^2 < 1
Tìm số nguyên x để: C= (2x+3)/(x-1) có giá trị nguyên
Chứng tỏ phân số có dạng: (n+1)/(3n+2) tối giản với mọi số nguyên n
Đáp án:
`A=5^2/1.6 + 5^2/6.11 + … + 5^2/26.31`
`=5 . ( 5/1.6 + 5/6.11 + … + 5/(26.31) )`
`=5 . ( 1/1-1/6+1/6-1/11+…+1/26-1/31 )`
`=5 . ( 1/1 – 1/31 ) = 150/31`
$\\$
`B=1/2^2 + 1/3^2 + … + 1/100^2`
Ta có :
`1/2^2 < 1/1.2`
`1/3^2 < 1/2.3`
`…`
`1/100^2 < 1/99.100`
`to B < 1/1.2 + 1/2.3 + … + 1/99.100`
`to B < 1/1-1/2+1/2-1/3+…+1/99-1/100`
`to B < 1/1-1/100 <1`
Vậy `B<1`
$\\$
Để C có giá trị nguyên thì `2x+3 \ vdots \ x-1`
`to 2x-2+5 \ vdots \ x-1`
`to 2.(x-1)+5 \ vdots \ x-1`
`to 5 \ vdots \ x-1`
`to x-1 \ in \ Ư(5)={-5;-1;1;5}`
`to x \ in \ {-4;0;2;6}`
$\\$
Gọi `ƯCLN(n+1;3n+2)=d`
`to` $\begin{cases} n+1 \ \vdots \ d\\3n+2 \ \vdots \ d\end{cases}$`to` $\begin{cases} 3n+3 \ \vdots \ d\\3n+2 \ \vdots \ d\end{cases}$
`to (3n+3)-(3n+2) \ vdots \ d`
`to 1 \ vdots \ d`
`to (n+1)/(3n+2)` tối giản
Bài 1 :
A =`(5^2)/(1.6)` + `(5^2)/(6.11)` + `(5^2)/(11.16)` + ….. + `(5^2)/(26.31)`
A = 5 . [`(5)/(1.6)` + `(5)/(6.11)` + `(5)/(11.16)` + … + `(5)/(26.31)`
A = 5 .[ 1 – `(1)/(6)` + `(1)/(6)` – `(1)/(11)` + `(1)/(11)` – `(1)/(16)` +…+ `(1)/(26)` – `(1)/(31)`]
A = 5 . [1 – `(1)/(31)`]
A = 5 . `(30)/(31)` = `(150)/(31)`
Bài 2 :
Ta có B = `(1)/(2^2)` + `(1)/(3^2)` + `(1)/(4^2)` +…+ `(1)/(100^2)` < `(1)/(1.2)` + `(1)/(2.3)` + `(1)/(3.4)` +…..+ `(1)/(99.100)`
Đặt `(1)/(1.2)` + `(1)/(2.3)` + `(1)/(3.4)` +…..+ `(1)/(99.100)` = C
Ta có C =`(1)/(1.2)` + `(1)/(2.3)` + `(1)/(3.4)` +…..+ `(1)/(99.100)`
⇒ C = 1 – `(1)/(2)` + `(1)/(2)` – `(1)/(3)` + `(1)/(3)` – `(1)/(4)` +…..+ `(1)/(99)` – `(1)/(100)`
⇒ C = 1 – `(1)/(100)`
Ta có 1 – `(1)/(100)` < 1
⇒ C < 1
Mà B < C
⇒ B < 1 (đpc/m)
Bài 3 : Để C = `(2x-3)/(x-1)` có giá trị là nguyên thì (2x-3) phải chia hết cho (x-1)
Mà (x-1) chia hết cho (x-1)
⇒ 2(x-1) chia hết cho (x-1)
⇒ 2x – 2 chia hết cho (x-1)
⇒[(2x+3)-(2x-2)] chia hết cho (x-1)
⇒[ 2x +3 – 2x +2] chia hết cho (x-1)
⇒[(2x-2x)+ (3+2)] chia hết cho (x-1)
⇒ 5 chia hết cho (x-1)
⇒ (x-1) ∈ Ư(5) = {±1;±5}
Ta có bảng sau
x-1 | 1 | -1 | 5 | -5 |
x | 2∈Z | 0∈Z | 6∈Z | -4∈Z |
Vậy x={-4;0;2;6} thì thỏa mãn đk đề bài
Bài 4 :
Gọi UCLN của (n+1;3n+2) là d
⇒ n+1 chia hết cho d
3n+2 chia hết cho d
⇒ 3(n+1) chia hết cho d
3n+2 chia hết cho d
⇒ 3n+3 chia hết cho d
3n+2 chia hết cho d
⇒ [(3n+3) – (3n+2)] chia hết cho d
⇒ [3n+3 – 3n – 2] chia hết cho d
⇒ [ (3n-3n) + (3-2)] chia hết cho d
⇒ 1 chia hết cho d
⇒ d ∈ U(1) = {±1}
⇒ UCLN của (n+1;3n+2) = {±1}
⇒ `(n+1)/(3n+2)` là p/s tối giản
Mỏi tay vllllllllllllll