Tính: E = $1^{3}$ + $2^{3}$ + $3^{3}$ + … + $n^{3}$ 27/08/2021 Bởi Eloise Tính: E = $1^{3}$ + $2^{3}$ + $3^{3}$ + … + $n^{3}$
Đáp án: Giải thích các bước giải: Ta cần tìm đa thức bậc bốn $f(x)$ sao cho $f(x)-f(x-1)=x^3$ ($1$) Giả sử $f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e(a\neq 0)$ Thay vào ($1$) ta được: $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e-[a(x-1)^4+b(x-1)^3+c(x-1)^2+d(x-1)+e]=x^3$ $\Leftrightarrow ax^4+bx^3+cx^2+dx+e-(ax^4-4ax^3+6ax^2-4ax+a+bx^3-3bx^2+3bx-b+cx^2-2cx+c+dx-d+e)=x^3$ $\Leftrightarrow 4ax^3+(-6a+3b)x^2+(4a-3b+2c)x-a+b-c+d=x^3$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4a=1\\ -6a+3b=0\\ 4a-3b+2c=0\\ -a+b-c+d=0 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{1}{4}\\ b=\frac{1}{2}\\ c=\frac{1}{4}\\ d=0 \end{matrix}\right.$ Do đó: $f(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{2}x^3+\frac{1}{4}x^2+e(e\in \mathbb{R})$ ($2$) Cho $x=1;2;3;…;n$ lần lượt thay vào ($1$), rồi cộng vế theo vế và áp dụng ($2$) ta được: $1^3+2^3+…+n^3=f(n)-f(0)=\frac{1}{4}n^4+\frac{1}{2}n^3+\frac{1}{4}n^2=\left ( \frac{n(n+1)}{2} \right )^2$ Vậy $1^3+2^3+…+n^3=\left ( \frac{n(n+1)}{2} \right )^2$ Bình luận
Đáp án:$[ \frac{n(n+1)}{2} ]^{2}$ Giải thích các bước giải: E = $1^{3}$ + $2^{3}$ + $3^{3}$ + … + $n^{3}$ Ta có: $1^{3}$ = 1.($1^{2}$ – 1) + 1 = 0.1.2 + 1 $2^{3}$ = 2.($2^{2}$ – 1) + 2 = 1.2.3 + 2 $3^{3}$ = 3.($3^{2}$ – 1) +3 = 2.3.4 + 3 … $n^{3}$ = n.($n^{2}$ – 1) + n = (n-1).n.(n+1) + n Cộng vế theo vế các biểu thức trên, ta được: E = [ 0.1.2 + 1.2.3 + 2.3.4 + … + (n-1).n.(n+1) ] + ( 1 + 2 + 3 + … + n ) = $\frac{(n-1).n.(n+1)}{4}$ + $\frac{n.(n+1)}{2}$ = $[ \frac{n(n+1)}{2} ]^{2}$ Bình luận
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta cần tìm đa thức bậc bốn $f(x)$ sao cho $f(x)-f(x-1)=x^3$ ($1$)
Giả sử $f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e(a\neq 0)$
Thay vào ($1$) ta được:
$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e-[a(x-1)^4+b(x-1)^3+c(x-1)^2+d(x-1)+e]=x^3$
$\Leftrightarrow ax^4+bx^3+cx^2+dx+e-(ax^4-4ax^3+6ax^2-4ax+a+bx^3-3bx^2+3bx-b+cx^2-2cx+c+dx-d+e)=x^3$
$\Leftrightarrow 4ax^3+(-6a+3b)x^2+(4a-3b+2c)x-a+b-c+d=x^3$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4a=1\\ -6a+3b=0\\ 4a-3b+2c=0\\ -a+b-c+d=0 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{1}{4}\\ b=\frac{1}{2}\\ c=\frac{1}{4}\\ d=0 \end{matrix}\right.$
Do đó: $f(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{2}x^3+\frac{1}{4}x^2+e(e\in \mathbb{R})$ ($2$)
Cho $x=1;2;3;…;n$ lần lượt thay vào ($1$), rồi cộng vế theo vế và áp dụng ($2$) ta được:
$1^3+2^3+…+n^3=f(n)-f(0)=\frac{1}{4}n^4+\frac{1}{2}n^3+\frac{1}{4}n^2=\left ( \frac{n(n+1)}{2} \right )^2$
Vậy $1^3+2^3+…+n^3=\left ( \frac{n(n+1)}{2} \right )^2$
Đáp án:$[ \frac{n(n+1)}{2} ]^{2}$
Giải thích các bước giải:
E = $1^{3}$ + $2^{3}$ + $3^{3}$ + … + $n^{3}$
Ta có: $1^{3}$ = 1.($1^{2}$ – 1) + 1 = 0.1.2 + 1
$2^{3}$ = 2.($2^{2}$ – 1) + 2 = 1.2.3 + 2
$3^{3}$ = 3.($3^{2}$ – 1) +3 = 2.3.4 + 3
…
$n^{3}$ = n.($n^{2}$ – 1) + n = (n-1).n.(n+1) + n
Cộng vế theo vế các biểu thức trên, ta được:
E = [ 0.1.2 + 1.2.3 + 2.3.4 + … + (n-1).n.(n+1) ] + ( 1 + 2 + 3 + … + n )
= $\frac{(n-1).n.(n+1)}{4}$ + $\frac{n.(n+1)}{2}$
= $[ \frac{n(n+1)}{2} ]^{2}$