Tính giá trị của biểu thức sau(phân tích trực tiếp):
$\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+…}}}}}$
(Từ Srinivasa Ramanujan)
Tính giá trị của biểu thức sau(phân tích trực tiếp):
$\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+…}}}}}$
(Từ Srinivasa Ramanujan)
Đáp án:
$3$
Giải thích các bước giải:
Xét $A = \sqrt{1 + n\sqrt{(n +2)^2}}$
Ta có:
$A = \sqrt{1 + n\sqrt{n^2 + 4n + 4}}$
$=\sqrt{1 + n\sqrt{1 + n^2 + 4n + 3}}$
$= \sqrt{1 + n\sqrt{1 + (n+1)(n +3)}}$
$= \sqrt{1 + n\sqrt{1 + (n+1)\sqrt{(n+3)^2}}}$
$\cdots$
Xét $\sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4\sqrt{1 +\dots}}}}$
$\Rightarrow n = 2$
$\Rightarrow \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4\sqrt{1 +\dots}}}} = \sqrt{1 + 2\sqrt{(2 + 2)^2}} = 3$
Thử lại:
$3 = \sqrt{9} =\sqrt{1 + 8}$
$= \sqrt{1 + 2.4}$
$= \sqrt{1 + 2\sqrt{16}}$
$= \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 15}}$
$= \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3.5}}$
$= \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{25}}}$
$= \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 24}}}$
$= \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4.6}}}$
$= \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4.\sqrt{36}}}}$
$= \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4\sqrt{1 + 35}}}}$
$= \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4\sqrt{1 + 5.7}}}}$
$= \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4\sqrt{1 + 5\sqrt{49}}}}}$
$= \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4\sqrt{1 + 5\sqrt{1 + 48}}}}}$
$= \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4\sqrt{1 + 5\sqrt{1 + 6.8}}}}}$
$= \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4\sqrt{1 + 5\sqrt{1 + 6\sqrt{64}}}}}}$
$= \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4\sqrt{1 + 5\sqrt{1 + 6\sqrt{1 + 63}}}}}}$
$= \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4\sqrt{1 + 5\sqrt{1 + 6\sqrt{1 + 7.9}}}}}}$
$= \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4\sqrt{1 + 5\sqrt{1 + 6\sqrt{1 + 7\sqrt{81}}}}}}}$
$= \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4\sqrt{1 + 5\sqrt{1 + 6\sqrt{1 + 7\sqrt{1 + 80}}}}}}}$
$\dots$
$= \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4\sqrt{1 + 5\sqrt{1 + 6\sqrt{1 + 7\sqrt{1 + \sqrt{1 + 8\sqrt{1 + 9\sqrt{1 + 10\sqrt{1 +\dots}}}}}}}}}}}$