tính giá trị nhỏ nhất của ((a+4b)/2 √ab)+(2 √ab/(a+4b))

0 bình luận về “tính giá trị nhỏ nhất của ((a+4b)/2 √ab)+(2 √ab/(a+4b))”

1. Đặt $A=\dfrac{a+4b}{2\sqrt{ab}}+\dfrac{2\sqrt{ab}}{a+4b}=\dfrac{3(a+4b)}{8\sqrt{ab}}+\dfrac{a+4b}{8\sqrt{ab}}+\dfrac{2\sqrt{ab}}{a+4b}$

   Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương, ta có:

   $\dfrac{a+4b}{8\sqrt{ab}}+\dfrac{2\sqrt{ab}}{a+4b}\geqslant 2\sqrt{\dfrac{a+4b}{8\sqrt{ab}}.\dfrac{2\sqrt{ab}}{a+4b}}=2.\sqrt{\dfrac14}=1$

   Mặt khác, ta có:

   $\big(\sqrt{a}-2\sqrt{b}\big)^2 \geqslant 0$

   $\Leftrightarrow a-4\sqrt{ab}+4b\geqslant 0$

   $\Leftrightarrow a+4ab\geqslant 4\sqrt{ab}$

   $\Leftrightarrow 3(a+4b)\geqslant 12\sqrt{ab}$

   $\Leftrightarrow \dfrac{3(a+4b)}{8\sqrt{ab}}\geqslant \dfrac32$

   $\Rightarrow A\geqslant 1+\dfrac32=\dfrac{5}{2}$

   Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \sqrt{a}-2\sqrt{b}=0\Leftrightarrow a=4b$

   Vậy $\min A=\dfrac{5}{2}$ đạt được khi $a=4b$

   Bình luận