tính giới hạn của dãy số : (1+a +a^2+…+a^n)/(1+b+b^2+…+b^n)

Giải thích các bước giải:

TQ:

\(\begin{array}{l}
A = 1 + k + {k^2} + {k^3} + …. + {k^n}\\
 \Leftrightarrow A.k = k + {k^2} + {k^3} + {k^4} + …. + {k^{n + 1}}\\
 \Rightarrow A.k – A = \left( {k + {k^2} + {k^3} + {k^4} + …. + {k^{n + 1}}} \right) – \left( {1 + k + {k^2} + {k^3} + …. + {k^n}} \right)\\
 \Leftrightarrow A\left( {k – 1} \right) = {k^{n + 1}} – 1\\
 \Leftrightarrow A = \frac{{{k^{n + 1}} – 1}}{{k – 1}}\\
 \Rightarrow \lim \frac{{1 + a + {a^2} + {a^3} + …. + {a^n}}}{{1 + b + {b^2} + {b^3} + …. + {b^n}}}\\
 = \lim \frac{{\frac{{{a^{n + 1}} – 1}}{{a – 1}}}}{{\frac{{{b^{n + 1}} – 1}}{{b – 1}}}} = \lim \left( {\frac{{{a^{n + 1}} – 1}}{{a – 1}}:\frac{{{b^{n + 1}} – 1}}{{b – 1}}} \right)\\
 = \lim \left( {\frac{{b – 1}}{{a – 1}}.\frac{{{a^{n + 1}} – 1}}{{{b^{n + 1}} – 1}}} \right) = \frac{{b – 1}}{{a – 1}}\lim \left( {\frac{{{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^{n + 1}} – \frac{1}{{{b^{n + 1}}}}}}{{1 – \frac{1}{{{b^{n + 1}}}}}}} \right)\\
 = \left[ \begin{array}{l}
\frac{{b – 1}}{{a – 1}}\,\,\,\,\,\left( {a > b} \right)\\
0\,\,\,\,\left( {a < b} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)