tính giới hạn sau : lim $\frac{2.1^2+3.2^2+…+(n+1)n^2}{n^4}$ 18/07/2021 Bởi Kylie tính giới hạn sau : lim $\frac{2.1^2+3.2^2+…+(n+1)n^2}{n^4}$
Ta có $\underset{n \to +\infty}{\lim} \dfrac{2.1^2 + 3.2^2 + \cdots + (n+1)n^2}{n^4} = \underset{n \to +\infty}{\lim} \dfrac{(1 + 1).1^2 + (2+1)2^2 + \cdots + n^3 + n^2}{n^4}$ $= \underset{n \to +\infty}{\lim} \dfrac{(1^2 + 2^2 + \cdots + n^2) + (1^3 + 2^3 + \cdots + n^3)}{n^4}$ Lại có $1^2 + \cdots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ và $1^3 + \cdots + n^3 = \dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$ Vậy ta có tử số bằng $\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \dfrac{n^2(n+1)^2}{4} = \dfrac{2n(n+1)(2n+1) + 3n^2(n+1)^2}{12}$ Do đó $\dfrac{(1^2 + 2^2 + \cdots + n^2) + (1^3 + 2^3 + \cdots + n^3)}{n^4} = \dfrac{2n(n+1)(2n+1) + 3n^2(n+1)^2}{12n^4}$ $= \dfrac{ \frac{2}{n} (1 + \frac{1}{n}) (2 + \frac{1}{n}) + 3(1 + \frac{1}{n})^2}{12}$ Do đó $\underset{n \to +\infty}{\lim} \dfrac{2.1^2 + 3.2^2 + \cdots + (n+1)n^2}{n^4} = \underset{n \to +\infty}{\lim} \dfrac{ \frac{2}{n} (1 + \frac{1}{n}) (2 + \frac{1}{n}) + 3(1 + \frac{1}{n})^2}{12}$ $= \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$ Bình luận
Đáp án: 2.2^2017.2018C1+3.2^2016.2018C2+4.2^2015.2018C3+……+2019.2018C2018 Giải thích các bước giải: đê Bình luận
Ta có
$\underset{n \to +\infty}{\lim} \dfrac{2.1^2 + 3.2^2 + \cdots + (n+1)n^2}{n^4} = \underset{n \to +\infty}{\lim} \dfrac{(1 + 1).1^2 + (2+1)2^2 + \cdots + n^3 + n^2}{n^4}$
$= \underset{n \to +\infty}{\lim} \dfrac{(1^2 + 2^2 + \cdots + n^2) + (1^3 + 2^3 + \cdots + n^3)}{n^4}$
Lại có
$1^2 + \cdots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
và
$1^3 + \cdots + n^3 = \dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$
Vậy ta có tử số bằng
$\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \dfrac{n^2(n+1)^2}{4} = \dfrac{2n(n+1)(2n+1) + 3n^2(n+1)^2}{12}$
Do đó
$\dfrac{(1^2 + 2^2 + \cdots + n^2) + (1^3 + 2^3 + \cdots + n^3)}{n^4} = \dfrac{2n(n+1)(2n+1) + 3n^2(n+1)^2}{12n^4}$
$= \dfrac{ \frac{2}{n} (1 + \frac{1}{n}) (2 + \frac{1}{n}) + 3(1 + \frac{1}{n})^2}{12}$
Do đó
$\underset{n \to +\infty}{\lim} \dfrac{2.1^2 + 3.2^2 + \cdots + (n+1)n^2}{n^4} = \underset{n \to +\infty}{\lim} \dfrac{ \frac{2}{n} (1 + \frac{1}{n}) (2 + \frac{1}{n}) + 3(1 + \frac{1}{n})^2}{12}$
$= \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$
Đáp án:
2.2^2017.2018C1+3.2^2016.2018C2+4.2^2015.2018C3+……+2019.2018C2018
Giải thích các bước giải:
đê