Tính nguyên hàm của hàm số 2/(e^x + e^-x)^2 15/11/2021 Bởi Alaia Tính nguyên hàm của hàm số 2/(e^x + e^-x)^2
Đáp án: \[\int {\frac{2}{{{{\left( {{e^x} + {e^{ – x}}} \right)}^2}}}dx} = \frac{{ – 1}}{{{e^{2x}} + 1}} + C\] Giải thích các bước giải: Ta có: \(\begin{array}{l}I = \int {\frac{2}{{{{\left( {{e^x} + {e^{ – x}}} \right)}^2}}}dx} \\ = \int {\frac{2}{{{e^{2x}} + 2.{e^x}.{e^{ – x}} + {e^{ – 2x}}}}dx} \\ = \int {\frac{2}{{{e^{2x}} + 2 + {e^{ – 2x}}}}dx} \\ = \int {\frac{{2{e^{2x}}}}{{{e^{4x}} + 2{e^{2x}} + 1}}dx} \\t = {e^{2x}} \Rightarrow dt = \left( {2x} \right)’.{e^{2x}}dx = 2{e^{2x}}dx\\ \Rightarrow I = \int {\frac{{dt}}{{{t^2} + 2t + 1}}} = \int {\frac{{dt}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}} = \frac{{ – 1}}{{t + 1}} + C = \frac{{ – 1}}{{{e^{2x}} + 1}} + C\end{array}\) Bình luận
Đáp án:
\[\int {\frac{2}{{{{\left( {{e^x} + {e^{ – x}}} \right)}^2}}}dx} = \frac{{ – 1}}{{{e^{2x}} + 1}} + C\]
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
I = \int {\frac{2}{{{{\left( {{e^x} + {e^{ – x}}} \right)}^2}}}dx} \\
= \int {\frac{2}{{{e^{2x}} + 2.{e^x}.{e^{ – x}} + {e^{ – 2x}}}}dx} \\
= \int {\frac{2}{{{e^{2x}} + 2 + {e^{ – 2x}}}}dx} \\
= \int {\frac{{2{e^{2x}}}}{{{e^{4x}} + 2{e^{2x}} + 1}}dx} \\
t = {e^{2x}} \Rightarrow dt = \left( {2x} \right)’.{e^{2x}}dx = 2{e^{2x}}dx\\
\Rightarrow I = \int {\frac{{dt}}{{{t^2} + 2t + 1}}} = \int {\frac{{dt}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}} = \frac{{ – 1}}{{t + 1}} + C = \frac{{ – 1}}{{{e^{2x}} + 1}} + C
\end{array}\)