Tính nguyên hàm: \(\int {\frac{{{{\cos }^3}x}}{{\sin x + \cos x}}dx} \)

0 bình luận về “Tính nguyên hàm: \(\int {\frac{{{{\cos }^3}x}}{{\sin x + \cos x}}dx} \)”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   Đặt $ I = \int\limits{\dfrac{cos³x}{cosx + sinx}} \, dx; J = \int\limits{\dfrac{sin³x}{cosx + sinx}} \, dx$

   Ta có :

   $I + J = \int\limits{\dfrac{cos³x + sin³x}{cosx + sinx}} \, dx = \int\limits{(1 – sinxcosx)} \, dx = x + \dfrac{1}{4}cos2x + C_{1} (1)$ 

   $I – J = \int\limits{\dfrac{cos³x – sin³x}{cosx + sinx}} \, dx = \int\limits{\dfrac{cosx – sin²x(cosx + sinx)}{cosx + sinx}} \, dx $ 

   $ = \int\limits{\dfrac{cosx}{cosx + sinx}} \, dx – \int\limits{sin²x} \, dx = \dfrac{1}{2}\int\limits{(\dfrac{cosx – sinx}{cosx + sinx} + 1)} \, dx – \int\limits{\dfrac{(1 – cos2x)}{2}} \, dx $

   $ = \dfrac{1}{2}ln|cosx + sinx| + \dfrac{1}{4}sin2x + C_{2} (2)$

   $ (1) + (2) : 2I = x + \dfrac{1}{2}ln|cosx + sinx| + \dfrac{1}{4}(sin2x + cos2x) + C_{1} + C_{2}$

   $ ⇒ I = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4}ln|cosx + sinx| + \dfrac{1}{8}(sin2x + cos2x) + C$

    

   Bình luận