Tính P = x³ – y³ – z³ + 3xyz biết x² + y² +z² = 16; xy – yz +zx = -10. Giải chi tiết cách tách giúp mình với ạ

0 bình luận về “Tính P = x³ – y³ – z³ + 3xyz biết x² + y² +z² = 16; xy – yz +zx = -10. Giải chi tiết cách tách giúp mình với ạ”

1. Đáp án:

   \(P =  \pm 36\)

   Giải thích các bước giải:

   Ta có:

   \(\begin{array}{l}
   {x^2} + {y^2} + {z^2} = 16\\
   xy – yz + zx =  – 10\\
    \Rightarrow \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) – 2.\left( {xy – yz + zx} \right) = 16 – 2.\left( { – 10} \right)\\
    \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} – 2xy + 2yz – 2zx = 36\\
    \Leftrightarrow \left( {{x^2} – 2xy + {y^2}} \right) + {z^2} + 2yz – 2zx = 36\\
    \Leftrightarrow {\left( {x – y} \right)^2} + 2z\left( {y – x} \right) + {z^2} = 36\\
    \Leftrightarrow {\left( {x – y} \right)^2} – 2.\left( {x – y} \right).z + {z^2} = 36\\
    \Leftrightarrow {\left( {x – y – z} \right)^2} = 36\\
    \Leftrightarrow x – y – z =  \pm 6\\
   P = {x^3} – {y^3} – {z^3} – 3xyz\\
    = \left( {{x^3} – 3{x^2}y + 3x{y^2} – {y^3}} \right) – {z^3} + 3{x^2}y – 3x{y^2} – 3xyz\\
    = {\left( {x – y} \right)^3} – {z^3} + 3{x^2}y – 3x{y^2} – 3xyz\\
    = \left[ {\left( {x – y} \right) – z} \right].\left[ {{{\left( {x – y} \right)}^2} + \left( {x – y} \right).z + {z^2}} \right] + 3xy\left( {x – y – z} \right)\\
    = \left( {x – y – z} \right).\left( {{x^2} – 2xy + {y^2} + xz – yz + {z^2} + 3xy} \right)\\
    = \left( {x – y – z} \right).\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} + xy – yz + zx} \right)\\
   \text{TH 1: }x – y – z = 6\\
    \Rightarrow P = 6.\left( {16 + \left( { – 10} \right)} \right) = 36\\
   \text{TH 2: }x – y – z =  – 6\\
    \Rightarrow P = \left( { – 6} \right).\left( {16 + \left( { – 10} \right)} \right) =  – 36
   \end{array}\)

   Vậy \(P =  \pm 36\).

   Bình luận