Tính tích phân của $\int\limits^3_0 {\frac{x-1}{1+\sqrt{1+x}} } \, dx$ = a+bln2+cln3

0 bình luận về “Tính tích phân của $\int\limits^3_0 {\frac{x-1}{1+\sqrt{1+x}} } \, dx$ = a+bln2+cln3”

1. Đáp án:

   $\begin{cases}a = -\dfrac13\\b = -2\\c = 2\end{cases}$

   Giải thích các bước giải:

   $\quad I =\displaystyle\int\limits_0^3\dfrac{x -1}{1 +\sqrt{1 + x}}$

   Đặt $u = \sqrt{1+x}$

   $\to du = \dfrac{1}{2\sqrt{1 + x}}dx$

   Đổi cận:

   $x\quad \Big|\quad 0\qquad 3$

   $\overline{u\quad \Big|\quad 1\qquad 2}$

   Ta được:

   $\quad I = 2\displaystyle\int\limits_1^2\dfrac{u(u^2 -2)}{u+1}du$

   $\to I = 2\displaystyle\int\limits_1^2\left(u^2 – u – 1 +\dfrac{1}{u+1}\right)du$

   $\to I = 2\displaystyle\int\limits_1^2u^2du – 2\displaystyle\int\limits_1^2udu – 2\displaystyle\int\limits_1^2du + 2\displaystyle\int\limits_1^2\dfrac{1}{u+1}du$

   $\to I = \dfrac23u^3\Bigg|_1^2 – u^2\Bigg|_1^2 – 2u\Bigg|_1^2 + 2\ln|u+1|\Bigg|_1^2$

   $\to I = \dfrac{14}{3} – 3 – 2+ 2(\ln3- \ln2)$

   $\to I = -\dfrac13 – 2\ln2+ 2\ln3$

   $\to \begin{cases}a = -\dfrac13\\b = -2\\c = 2\end{cases}$

   Trả lời