Toán nâng cao không làm được thì đừng cố làm nhường cho người giỏi làm nhé
Tìm m để bất phương trình sau:
(m – 1)x² – 2(m + 1)x + 3(m – 2) > 0
nghiệm đúng với mọi x ∈ R
Toán nâng cao không làm được thì đừng cố làm nhường cho người giỏi làm nhé Tìm m để bất phương trình sau: (m – 1)x² – 2(m + 1)x + 3(m – 2) > 0 nghiệm
By Adalyn
– Với `m = 1`
`=> -2.2 – 3 > 0` (vô lí)
`=>` loại
– Với `m ne 1`
Để bất phương trình có nghiệm đúng với `∀ x ∈ RR`
`<=> f(x) > 0 với `∀ x ∈ RR`
Ta có:
`Δ’ = (m + 1)² – 3.(m – 1).(m – 2)`
`= m² + 2m + 1 – 3m² + 9m – 6`
`= -2m² + 11m – 5`
Để `f(x) > 0`
`<=>` \(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\Δ’ < 0\end{array} \right.\)
`<=>` \(\left\{ \begin{array}{l}m > 1\\(m – 5)(m – \dfrac{1}{2}) < 0\end{array} \right.\)
`<=>` \(\left\{ \begin{array}{l}m > 1\\m < \dfrac{1}{2}\\m > 5\end{array} \right.\)
`=> m > 5`
Đáp số :
+ Với m = 1, ta có: -4x – 3 > 0
Không nghiệm đúng với mọi x ∈ R
+ Với m ≠ 1, ta đặt f(x) =(m – 1)x² – 2(m + 1)x + 3(m – 2)
BPT đã cho nghiệm đúng với mọi x ⇔ f(x) > 0 ∀ x
⇔$\left \{ {{a>0} \atop {Δ'<0}} \right.$
⇔ $\left \{ {{m-1>0}\atop {Δ’=(m+1)^{2}- 3(m-2).(m-1)<0}}\right.$
⇔$\left \{ {{m>1} \atop {m^2 + 2m+1 -3.(m^2-3m+2)<0}} \right.$
⇔$\left \{ {{m>1} \atop {-2m^2+11m -5 <0}} \right.$
⇔$\left \{ {{m>1} \atop {\left[ \begin{array}{l}x<\frac{1}{2}\\x>5\end{array} \right.}} \right.$
⇔\(\left[ \begin{array}{l}\left \{ {{x>1} \atop {x<\frac{1}{2}}}(Vô nghiệm) \right.\\\left \{ {{x>1} \atop {x>5}} \right.\end{array} \right.\)
⇔ m>5
Vậy với m > 5 thì bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x ∈ R
Hướng dẫn cách giải :
Chia ra làm hai trường hợp :
a=0 và a$\neq$ 0
Trường hợp a$\neq$ 0 thì dùng tam thức bậc hai
f(x)>0 ∀ x⇔$\left \{ {{a>0} \atop {Δ<0}} \right.$