Tôi đã come back và lại hại hơn xưa! 1) Cho $a, b, c, d > 0$ $S=\dfrac a{a+b+d}+\dfrac b{a+b+c}+\dfrac c{b+c+d}+\dfrac d{a+c+d}$ CMR: $1

18/07/2021

By Gabriella

Tôi đã come back và lại hại hơn xưa!
1) Cho $a, b, c, d > 0$
$S=\dfrac a{a+b+d}+\dfrac b{a+b+c}+\dfrac c{b+c+d}+\dfrac d{a+c+d}$
CMR: $1y ≥ 0$. CMR: $x+\dfrac4{(x-y)(y+1)^2} ≥3$
3) Cho 4 số thực $x, y, u, v$ sao cho $u^2+v^2=x^2+y^2=1$
CMR: $-\sqrt 2 ≤ u(x-y)+v(x+y)≤\sqrt 2$

Đáp án:

Câu 1: 

`@ S>\frac a{a+b+c+d}+\frac b{a+b+c+d}+\frac c{a+b+c+d}+\frac d{a+b+c+d}=1`

`@ S<\frac a{a+b}+\frac b{a+b}+\frac c{+c+d}+\frac d{+c+d}=2`

$⇒ 1 < S < 2$ (đpcm)

Câu 2:

ĐK: $\begin{cases}x-y>0\\y+1>0\end{cases}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

$(2x-2y)+2(y+1)+\dfrac{8}{(x-y)(y+1)^2}≥4\sqrt[4]{(2x-2y).2(y+1).\dfrac{8}{(x-y)(y+1)^2}}$

$⇔ 2x+2+\dfrac{8}{(x-y)(y+1)^2}≥4\sqrt[4]{16}=4.2=8$

$⇔ 2x+\dfrac{8}{(x-y)(y+1)^2}≥6$

$⇔ x+\dfrac{8}{(x-y)(y+1)^2}≥3$ (đpcm)

Câu 3:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpski ta có: 

$[u(x-y)+v(x+y)]^2≤(u^2+v^2)[(x-y)^2+(x+y)^2]\\=2(x^2+y^2)=2$

$⇒-\sqrt{2}≤u(x-y)+v(x+y)≤\sqrt 2$