Tổng các số nguyên `a_1; a_2; a_3;…; a_n` chia hết cho 3. Chứng minh `A= (a^3)_1 + (a^3)_2 + (a^3)_3 + … + (a^3)_n` cũng chia hết cho 3

0 bình luận về “Tổng các số nguyên `a_1; a_2; a_3;…; a_n` chia hết cho 3. Chứng minh `A= (a^3)_1 + (a^3)_2 + (a^3)_3 + … + (a^3)_n` cũng chia hết cho 3”

1. Giải thích các bước giải:

   Xét hiệu `B = [(a^3)_1 + (a^3)_2 + (a^3)_3 + … + (a^3)_n] – (a_1 + a_2 +…+a_n)`

   `= [(a^3)_1 – a_1] + [(a^3)_2 – a_2] + … + [(a^3)_n – a_n]`

   `= a_1[(a^2)_1 – 1] + a_2[(a^2)_2 – 1]+…+ a_n[(a^2)_n – 1]`

   `= (a_1 – 1)a_1(a_1+1) + (a_2-1)a_2(a_2+1) +…+ (a_n – 1) a_n (a_n +1)`

   Vì các số hạng `(a_i-1)a_1(a_i+1)` với `i = 1;2;3;…;n` là ba số nguyên  liên tiếp nên chia hết cho `3`, mà `a_1 + a_2 +…+ a_n` chia hết cho 3 

   `=> đpcm`

   Bình luận

2. Ta có $a_1^3 – {a_1} = \left( {{a_1} – 1} \right){a_1}\left( {{a_1} + 1} \right)$ là tích của ba số liên tiếp nên chia hết cho 3

   Từ đó có được $A – \left( {{a_1} + {a_2} + {a_3} + … + {a_n}} \right) = \left( {a_1^3 – {a_1}} \right) + \left( {a_2^3 – {a_2}} \right) + … + \left( {a_n^3 – {a_n}} \right) \vdots 3$  

   Bình luận