tổng nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của: sin2x + căn3cos2x =1

Đáp án:

$\sum = \dfrac{\pi}{6}$

Giải thích các bước giải:

$\sin2x + \sqrt3\cos2x = 1$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin2x + \dfrac{\sqrt3}{2}\cos2x = \dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sin2x\cos\dfrac{\pi}{3} + \cos2x\sin\dfrac{\pi}{3} = \sin\dfrac{\pi}{6}$

$\Leftrightarrow \sin\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right) = \sin\dfrac{\pi}{6}$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}2x + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi\\2x + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}2x = -\dfrac{\pi}{6} + k2\pi\\2x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = -\dfrac{\pi}{12} + k\pi\\x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi\end{array}\right.\quad (k \in \Bbb Z)$

Dễ dàng nhận thấy, với $k = 0$ ta được:

$x = -\dfrac{\pi}{12}$ và $x = \dfrac{\pi}{4}$ lần lượt là nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương bé nhất của phương trình

$\Rightarrow \sum = \dfrac{\pi}{4} – \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\pi}{6}$