TRÂN TRỌNG MỜI ANH cho a,b.c.>0 a+b+c=1 tìm gtnn M=(1/(2a-a ²))+(1/(2b-b ²))+(1/(2c-c ²))

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Bài nầy dùng BĐT $: \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} ≥ \dfrac{9}{x + y + z} (*)$

Với $ x, y, z $ là các số thực dương

BĐT nầy quen thuộc chắc cậu biết?

Vì $ a,b,c > 0; a + b + c = 1 ⇒ 2 – a; 2 – b ; 2 – c > 0$

Nên áp dụng $(*):$

$ \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} ≥ \dfrac{9}{a + b + c} = 9 (1)$

$ \dfrac{1}{2 – a} + \dfrac{1}{2 – b} + \dfrac{1}{2 – c} ≥ \dfrac{9}{6 – (a + b + c)} = \dfrac{9}{5} (2)$

$(1) + (2) :$

$ \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{2 – a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{2 – b} + \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{2 – c} ≥ \dfrac{54}{5}$

$ \dfrac{2}{a(2 – a)} + \dfrac{2}{b(2 – b)} + \dfrac{2}{c(2 – c)} ≥ \dfrac{54}{5}$

$ \dfrac{1}{2a – a²} + \dfrac{1}{2b – b²} + \dfrac{1}{2c – c²} ≥ \dfrac{27}{5}$

$ ⇒ GTNN$ của $M = \dfrac{27}{5} ⇔ a = b = c = \dfrac{1}{3}$