Trên mặt phẳng Oxy cho( P):y = 2x^2,(d) có hệ số góc bằng m và đi qua điểm I(0;2)
a,viết phương trình đường thẳng (d)
b,Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A và B
c, gọi hoành độ giao điểm của a và b là x1 x2 Chứng minh rằng |x1-x2| lớn hơn hoặc bằng 2
Đáp án:
$\begin{array}{l}
a)\left( d \right):y = m.x + b\\
Do:I\left( {0;2} \right) \in \left( d \right)\\
\Rightarrow 2 = b\\
\Rightarrow \left( d \right):y = mx + 2\\
b)Xet:2{x^2} = mx + 2\\
\Rightarrow 2{x^2} – mx – 2 = 0\\
\Rightarrow \Delta > 0\\
\Rightarrow {m^2} + 8 > 0\left( {luôn\,đúng} \right)
\end{array}$
Vậy (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
c)
$\begin{array}{l}
Theo\,Viet:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \dfrac{m}{2}\\
{x_1}{x_2} = – 1
\end{array} \right.\\
\left| {{x_1} – {x_2}} \right|\\
= \sqrt {{{\left( {{x_1} – {x_2}} \right)}^2}} \\
= \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} – 4{x_1}{x_2}} \\
= \sqrt {\dfrac{{{m^2}}}{4} + 4} \ge \sqrt 4 = 2\\
Vậy\,\left| {{x_1} – {x_2}} \right| \ge 2
\end{array}$