Trong Δ ABC, chứng minh : $cos^{2}$A + $cos^{2}$B + $cos^{2}$C = 1 – 2.cosA.cosB.cosC 08/08/2021 Bởi Ayla Trong Δ ABC, chứng minh : $cos^{2}$A + $cos^{2}$B + $cos^{2}$C = 1 – 2.cosA.cosB.cosC
Đáp án: Ta có: -cos2A + cos2B + cos2C = -1- 4cosAcosBcosC (1)cos2A+cos2B+cos2C=−1−4cosAcosBcosC(1)Ta chứng minh (1)(1) :2cos(A + B ).cos(A – B) + cos2C2cos(A+B).cos(A−B)+cos2C = -2cosC.cos(A – B) + 2cos^2C – 1=−2cosC.cos(A−B)+2cos2C−1 = -2cosC . [ cos(A – B ) – cosC ] – 1=−2cosC.[cos(A−B)−cosC]−1 = -2cosC . [ cos(A – B ) + cos(A + B ) ] – 1=−2cosC.[cos(A−B)+cos(A+B)]−1 = -2cosC . 2cosA.cos(-B ) – 1= -1- 4cosAcosBcosC=−2cosC.2cosA.cos(−B)−1=−1−4cosAcosBcosCTa chứng minh bài toán :cos^2 A +cos^2 B + cos^2 C = 1- 2cosAcosBcosCcos2A+cos2B+cos2C=1−2cosAcosBcosCTừ vế trái ta sử dụng công thức hạ bậc := (1 + cos2A)/2 + (1 + cos2B )/2 + (1 + cos2C)/2=(1+cos2A)/2+(1+cos2B)/2+(1+cos2C)/2 = 3/2 + 1/2(cos2A + cos2B + cos2C)=3/2+1/2(cos2A+cos2B+cos2C)Từ (1)(1) ta có := 3/2 + 1/2(-1 – 4.cosA.cosB.cosC)=3/2+1/2(−1−4.cosA.cosB.cosC) =1- 2cosAcosBcosC=1−2cosAcosBcosC. ‘ em học lớp 9 nhưng đã được hc bài này sơ sơ nên giải hơn dài dòng á’ Mong mọi người thông cảm. Bình luận
$\begin{array}{l}\cos^2A + \cos^2B + \cos^2C\\ =\dfrac{1 + \cos2A}{2} + \dfrac{1 + \cos2B}{2} + \cos C.\cos C\\ = 1 + \dfrac{1}{2}(\cos2A + \cos2B) + \cos C.\cos C\\ = 1 + \dfrac{1}{2}.2\cos\dfrac{2A + 2B}{2}.\cos\dfrac{2A -2B}{2} + \cos C.\cos C\\ = 1 + \cos(A + B)\cos(A – B) + \cos C.\cos C\\ = 1 – \cos C.\cos(A – B) – \cos C.\cos(A + B)\\ = 1 – \cos C[\cos(A – B) + \cos(A + B)]\\ = 1 – \cos C.2.\cos\dfrac{A – B + A + B}{2}.\cos\dfrac{A – B – A – B}{2}\\ = 1 -2\cos C.\cos A.\cos B\end{array}$ Bình luận
Đáp án:
Ta có:
-cos2A + cos2B + cos2C = -1- 4cosAcosBcosC (1)cos2A+cos2B+cos2C=−1−4cosAcosBcosC(1)
Ta chứng minh (1)(1) :2cos(A + B ).cos(A – B) + cos2C2cos(A+B).cos(A−B)+cos2C = -2cosC.cos(A – B)
+ 2cos^2C – 1=−2cosC.cos(A−B)+2cos2C−1 = -2cosC . [ cos(A – B ) – cosC ] – 1=−2cosC.[cos(A−B)−cosC]−1 = -2cosC . [ cos(A – B ) + cos(A + B ) ] – 1=−2cosC.[cos(A−B)+cos(A+B)]−1 = -2cosC . 2cosA.cos(-B ) – 1= -1- 4cosAcosBcosC=−2cosC.2cosA.cos(−B)−1=−1−4cosAcosBcosC
Ta chứng minh bài toán :cos^2 A +cos^2 B + cos^2 C = 1- 2cosAcosBcosCcos2A+cos2B+cos2C=1−2cosAcosBcosC
Từ vế trái ta sử dụng công thức hạ bậc := (1 + cos2A)/2 + (1 + cos2B )/2 + (1 + cos2C)/2=(1+cos2A)/2+(1+cos2B)/2+(1+cos2C)/2 = 3/2 + 1/2(cos2A + cos2B + cos2C)=3/2+1/2(cos2A+cos2B+cos2C)
Từ (1)(1) ta có := 3/2 + 1/2(-1 – 4.cosA.cosB.cosC)=3/2+1/2(−1−4.cosA.cosB.cosC) =1- 2cosAcosBcosC=1−2cosAcosBcosC.
‘ em học lớp 9 nhưng đã được hc bài này sơ sơ nên giải hơn dài dòng á’ Mong mọi người thông cảm.
$\begin{array}{l}\cos^2A + \cos^2B + \cos^2C\\ =\dfrac{1 + \cos2A}{2} + \dfrac{1 + \cos2B}{2} + \cos C.\cos C\\ = 1 + \dfrac{1}{2}(\cos2A + \cos2B) + \cos C.\cos C\\ = 1 + \dfrac{1}{2}.2\cos\dfrac{2A + 2B}{2}.\cos\dfrac{2A -2B}{2} + \cos C.\cos C\\ = 1 + \cos(A + B)\cos(A – B) + \cos C.\cos C\\ = 1 – \cos C.\cos(A – B) – \cos C.\cos(A + B)\\ = 1 – \cos C[\cos(A – B) + \cos(A + B)]\\ = 1 – \cos C.2.\cos\dfrac{A – B + A + B}{2}.\cos\dfrac{A – B – A – B}{2}\\ = 1 -2\cos C.\cos A.\cos B\end{array}$