Trong hệ trục toạ độ Oxy cho P : y =x^2 và đường thẳng d : y= (m-2)x + m+ 1
1 tìm m để P cắt d tại 2 điểm phân biệt nằm vế bên trái trục tung .
2 gọi A( x1 ; y1 ) và B (x2;y2) là giao điểm của P và d , tìm m để khoảng cách từ A đến trục hoành bằng 4 lần khoảng cách từ B đến trục hoành.
Đáp án:
Xét pt hoành độ giao điểm:
$\begin{array}{l}
{x^2} = \left( {m – 2} \right)x + m + 1\\
\Rightarrow {x^2} – \left( {m – 2} \right)x – m – 1 = 0
\end{array}$
1) Để chúng cắt nhau tại 2 điểm nằm về bên trái trục tung thì hoành độ của 2 điểm đó âm
=> pt có 2 nghiệm phân biệt âm
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta > 0\\
{x_1} + {x_2} < 0\\
{x_1}{x_2} > 0
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {m – 2} \right)^2} – 4.\left( { – m – 1} \right) > 0\\
m – 2 < 0\\
– m – 1 > 0
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} – 4m + 4 + 4m + 4 > 0\\
m < 2\\
m < – 1
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} + 8 > 0\left( {tm} \right)\\
m < – 1
\end{array} \right.\\
\Rightarrow m < – 1\\
2)\Delta > 0\left( {luon\,dung} \right)\\
THeo\,Viet:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = m – 2\\
{x_1}{x_2} = – m – 1
\end{array} \right.\\
{d_{A – Ox}} = 4.{d_{B – Ox}}\\
\Rightarrow \left| {{y_A}} \right| = 4.\left| {{y_B}} \right|\\
\Rightarrow x_A^2 = 4.x_B^2\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_A} = 2{x_B}\\
{x_A} = – 2{x_B}
\end{array} \right.\\
+ Khi:{x_A} = 2{x_B}\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = m – 2\\
{x_1}{x_2} = – m – 1
\end{array} \right.\\
\Rightarrow 3{x_B} = m – 2\\
\Rightarrow {x_B} = \frac{{m – 2}}{3};{x_A} = \frac{{2m – 4}}{3}\\
\Rightarrow \frac{{m – 2}}{3}.\frac{{2m – 4}}{3} = – m – 1\\
\Rightarrow \frac{{2{{\left( {m – 2} \right)}^2}}}{9} = – m – 1\\
\Rightarrow 2{m^2} – 8m + 8 = – 9m – 9\\
\Rightarrow 2{m^2} + m + 17 = 0\left( {vo\,nghiem} \right)\\
+ Khi:{x_A} = – 2{x_B}\\
\Rightarrow – {x_B} = m – 2\\
\Rightarrow {x_B} = 2 – m\\
\Rightarrow {x_A} = 2m – 4\\
\Rightarrow \left( {2 – m} \right).\left( {2m – 4} \right) = – m – 1\\
\Rightarrow – 2{m^2} + 8m – 8 = – m – 1\\
\Rightarrow 2{m^2} – 9m + 7 = 0\\
\Rightarrow \left( {2m – 7} \right)\left( {m – 1} \right) = 0\\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = \frac{7}{2}\\
m = 1
\end{array} \right.
\end{array}$
Vậy m=1 hoặc m=7/2